Questão 68. Como aplicação do problema ??, mostre que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}\right\}=\frac{t^{2}}{2}+\cos (t)-1;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}
ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{função no domínio de }s:\quad \frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}.çãí
Não há outras informações externas; a tarefa é aplicar técnicas padrão (decomposição em frações parciais e pares de transformadas conhecidas) para obter \mathcal{L}^{-1}.

Passo 2

Ideia-chave (aula rápida sobre o método que vamos usar): para inverter transformadas racionais é muito útil decompor a função em frações mais simples cujas inversas são conhecidas. Quando o denominador tem um fator linear repetido s^{3} usamos termos da forma \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^{2}}+\dfrac{C}{s^{3}}. Quando há um fator quadrático irreduzível s^{2}+1 usamos um termo do tipo \dfrac{Ds+E}{s^{2}+1}. Assim assumimos a decomposição
\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{Ds+E}{s^{2}+1}.
Explico por que: o fator s^{3} corresponde a raiz s=0 de multiplicidade 3, então precisamos de todos os termos até s^{-3}. O fator s^{2}+1 é quadrático irreduzível sobre \mathbb{R}, então seu numerador geral é linear Ds+E.

Passo 3

Encontrar A,B,C,D,E — procedimento: multiplicamos ambos os lados por s^{3}(s^{2}+1) para eliminar denominadores e igualar polinômios:
1 = A s^{2}(s^{2}+1) + B s(s^{2}+1) + C (s^{2}+1) + (Ds+E) s^{3}.
Agora expandimos cada termo para agrupar por potências de s:
A s^{2}(s^{2}+1)=A s^{4}+A s^{2},
B s(s^{2}+1)=B s^{3}+B s,
C(s^{2}+1)=C s^{2}+C,
(Ds+E)s^{3}=D s^{4}+E s^{3}.
Somando tudo:
1 = (A+D)s^{4} + (B+E)s^{3} + (A+C)s^{2} + B s + C.

Passo 4

Igualamos coeficientes dos polinômios (o lado esquerdo é o polinômio constante 1\), ou seja, coeficiente 1 em \(s^{0}\) e zeros para todas as potências maiores): sistema de equações obtido: \[\begin{cases} A + D = 0,\\[4pt] B + E = 0,\\[4pt] A + C = 0,\\[4pt] B = 0,\\[4pt] C = 1. \end{cases}
Resolvendo passo a passo: de C=1\]. Então \(A + C = 0 A + 1 = 0\Rightarrow A=-1. De A+D=0 obtemos D=1. De B=0 temos B=0. De B+E=0 com B=0 obtemos E=0.
Portanto os coeficientes são
A=-1,\quad B=0,\quad C=1,\quad D=1,\quad E=0.]

Passo 5

Substituímos os coeficientes na decomposição original:
\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)} = -\frac{1}{s} + \frac{0}{s^{2}} + \frac{1}{s^{3}} + \frac{s}{s^{2}+1}.
Ou simplificando:
\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)} = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s^{3}} + \frac{s}{s^{2}+1}.
Agora uma mini-aula sobre transformadas conhecidas que vamos usar:
  • Linearidade da transformada inversa: \mathcal{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+b\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}.
  • Transformada de uma constante: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, logo \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
  • Transformada de \cos t: \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}, logo \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\}=\cos t.
  • Transformada de potências t^{n}: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n inteiro não negativo. Para n=2 isso dá \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}. Assim a inversa de \dfrac{1}{s^{3}} é \dfrac{t^{2}}{2}, pois
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{2}}{2}\right\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{1}{s^{3}}.

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade e as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s}\right\} = -1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\} = \frac{t^{2}}{2},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\} = \cos t.
Somando:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+1\right)}\right\} = -1 + \frac{t^{2}}{2} + \cos t.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{2}}{2}+\cos(t)-1

Exercícios relacionados