Questão 68. Como aplicação do problema ??, mostre que
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
ou seja, encontrar
tal que
.
Informações dadas que vamos usar:
Não há outras informações externas; a tarefa é aplicar técnicas padrão (decomposição em frações parciais e pares de transformadas conhecidas) para obter
.
Passo 2
Ideia-chave (aula rápida sobre o método que vamos usar): para inverter transformadas racionais é muito útil decompor a função em frações mais simples cujas inversas são conhecidas. Quando o denominador tem um fator linear repetido
usamos termos da forma
. Quando há um fator quadrático irreduzível
usamos um termo do tipo
. Assim assumimos a decomposição
Explico por que: o fator
corresponde a raiz
de multiplicidade 3, então precisamos de todos os termos até
. O fator
é quadrático irreduzível sobre
, então seu numerador geral é linear
.
Passo 3
Encontrar
— procedimento: multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e igualar polinômios:
Agora expandimos cada termo para agrupar por potências de
:
Somando tudo:
Passo 4
Igualamos coeficientes dos polinômios (o lado esquerdo é o polinômio constante
Resolvendo passo a passo: de
dá
. De
obtemos
. De
temos
. De
com
obtemos
.
Portanto os coeficientes são
Passo 5
Substituímos os coeficientes na decomposição original:
Ou simplificando:
Agora uma mini-aula sobre transformadas conhecidas que vamos usar:
- Linearidade da transformada inversa:
. - Transformada de uma constante:
, logo . - Transformada de
: , logo . - Transformada de potências
: para inteiro não negativo. Para isso dá . Assim a inversa de é , pois
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando linearidade e as transformadas conhecidas:
Somando: