Questão 88. A equação de aquecimento de um corpo é dada por
- Determine
usando Transformada de Laplace.
- Ache
no domínio do tempo.
- Desenhe o comportamento qualitativo da temperatura.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- Determinar
(a Transformada de Laplace da solução). - Achar
no domínio do tempo. - Desenhar (qualitativamente) o comportamento da temperatura ao longo do tempo.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a função degrau unitário (Heaviside). - O termo de forçamento é
ativo entre e (pois em e fora disso). - Condição inicial
. - Coeficiente de amortecimento/exponencial é
(atenção: decimal com vírgula).
Passo 2
Vou te ensinar as ferramentas de Laplace que vamos usar — passo a passo, sem pular etapas.
- Definição da Transformada de Laplace: para uma função
definida para ,
Aqui
é a variável complexa do domínio de Laplace (pensamos em
como um número real positivo para inversão prática).
-
Linearidade:
. -
Transformada da derivada (fórmula muito útil): se
é contínua e tem derivada razoável,
Explicação curta do porquê: integra-se por partes a integral
e surge o termo de contorno
e a multiplicação por
.
- Transformada do degrau deslocado (teorema do deslocamento no tempo): para
,
Em particular
e
.
- Teorema do deslocamento multiplicando por
: se então . Esse resultado servirá para inverter termos com fator .
Com essas regras nós conseguimos transformar a EDO para o domínio de
, resolver algebricamente e voltar para o tempo com critérios de frações parciais e do deslocamento no tempo.
Passo 3
Agora aplicamos a Transformada de Laplace na EDO dada, termo a termo. Usando a regra da derivada e a linearidade:
Transformando
:
Transformando
:
Transformando o lado direito: usando a linearidade e a transformada do degrau,
Juntando tudo na equação transformada:
Isolando
:
portanto
Esse é o
pedido no item 1 (aqui já mostrei separado em termos mais fáceis de inverter).
Passo 4
Vamos inverter a segunda parcela (sem o fator exponencial) primeiro, ou seja inverter
Fazemos fração parcial. Note que
é produto de dois termos simples. Escrevemos
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes ou substituindo
e
:
- Em
: - Em
:
Ou usar a fórmula padrão
; aqui
dá
e multiplicando por
obtém-se
, concordando com
.
Agora aplicamos a inversa de Laplace:
Logo a inversa de
é
Também sabemos a inversa de
que veio da parte homogênea com condição inicial:
Até aqui, se não houvesse o termo retardado
, a solução seria a soma dessas duas inversas:
Isso corresponde ao comportamento com a fonte aplicada permanentemente (mas no nosso problema a fonte é desligada em
).
Passo 5
Agora tratamos o termo com o fator de atraso
. No domínio de
temos a parcela
Pelo teorema do deslocamento no tempo (time-shifting): se
então
ou seja a inversa aparece deslocada e multiplicada pelo degrau
.
Já calculamos que
inverte para
. Assim
Como o termo no
era com sinal negativo (veja expressão do Passo 3), a contribuição retardada é
Passo 6
Agora somamos todas as partes (a da condição inicial, a da força permanente e a da força desligada) para obter
:
Partes:
-
-
- a parte retardada dá
.
Somando:
Simplificando os dois primeiros termos:
portanto
É conveniente escrever a solução em forma peça a peça (mais clara para interpretar o comportamento):
- Para
(antes de desligar a fonte), , então
- Para
(após o desligamento), , então
Ambas escritas são equivalentes; a forma mais direta e intuitiva é a peça a peça.
Verificações rápidas e comentários (que ajudam na prova):
- Em
: (confere com a condição inicial). - Continuidade em
: limite pela esquerda e pela direita dá o mesmo valor (use em ), logo a solução é contínua. - Constante de tempo:
. Isso diz que o sistema se aproxima exponencialmente do valor de regime com velocidade caracterizada por . - Com a fonte ligada (0 ≤ t < 3) o equilíbrio temporário seria
, por isso a expressão tende a enquanto a fonte estiver ligada. - Depois de
a fonte é desligada e a temperatura decai exponencialmente para (porque a EDO homogênea tem solução que tende a zero).]
Passo 7
Descrição qualitativa do gráfico (o desenho que você deve fazer na prova):
- No instante
a temperatura começa em . - Para
: a temperatura aumenta monotonicamente e assintoticamente se aproxima de segundo uma exponencial . A subida tem constante de tempo , então em já está perto de da diferença para . - Em
a fonte é desligada; não há salto na temperatura (continuidade), mas a inclinação muda: a partir de a temperatura passa a decair exponencialmente, com mesma constante de tempo , rumo a . - Portanto o gráfico: sobe de
em direção a (mas não atinge plenamente porque a fonte é desligada em ), em atinge , e depois decai exponencialmente até quando .
Resposta
[T(s)=\dfrac{25}{s+0,5} + \dfrac{20}{s}\cdot\dfrac{1-e^{-3s}}{s+0,5}.)
Comportamento qualitativo: começa em
com constante de tempo
enquanto
, em
a fonte é desligada (sem salto na temperatura) e a partir daí
decai exponencialmente com a mesma constante de tempo
rumo a
.]