Defina uma equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(1,0,-5) e B(7,4,-5). As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor \vec{v}=(\overrightarrow{A B})=(6,4,0), são:

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dados os pontos A(1,0,-5) e B(7,4,-5).
  • Pede as equações simétricas (também chamadas de equação reduzida) da reta r que passa por A e tem direção do vetor \vec{v}=(\overrightarrow{AB})=(6,4,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas de A: x_A=1, y_A=0, z_A=-5.
  • Coordenadas de B: x_B=7, y_B=4, z_B=-5.
  • Vetor direção \vec{v}=(6,4,0) (isto foi dado no enunciado; também pode ser obtido por B-A).

Passo 2

Calcular explicitamente o vetor direção \overrightarrow{AB} a partir das coordenadas (mostrando a conta):
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A)=(7-1,\;4-0,\;-5-(-5))=(6,\;4,\;0).
Explicação didática: o vetor direção indica para onde a reta “aponta” e é obtido subtraindo coordenadas do primeiro ponto do segundo. Cada componente é a diferença correspondente.

Passo 3

Escrever a equação paramétrica (equação reduzida) da reta a partir de A e de \vec{v}.
Regra geral: se a reta passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção (v_1,v_2,v_3), então sua forma paramétrica é
x=x_0+v_1 t,\qquad y=y_0+v_2 t,\qquad z=z_0+v_3 t,
onde t é o parâmetro real. Aqui:
x=1+6t,\qquad y=0+4t,\qquad z=-5+0\cdot t.
Simplificando:
x=1+6t,\qquad y=4t,\qquad z=-5.
Explicação do que cada coisa significa: t percorre a reta; para cada t obtemos um ponto (x,y,z). O termo constante ( 1,0,-5) é um ponto da reta e os coeficientes de t são as componentes do vetor direção.

Passo 4

Converter a forma paramétrica para a forma simétrica (quando possível).
Regra de conversão: a partir de
x=x_0+v_1 t,\quad y=y_0+v_2 t,\quad z=z_0+v_3 t,
isolamos t:
t=\frac{x-x_0}{v_1},\quad t=\frac{y-y_0}{v_2},\quad t=\frac{z-z_0}{v_3}.
As equações simétricas são obtidas igualando essas expressões por t:
\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3},
porém isso só é válido quando as componentes v_1,v_2,v_3 são diferentes de zero. Se alguma componente v_i é zero, então a coordenada correspondente é constante e deve ser escrita como \text{coordenada} = \text{valor\_constante} (não se divide por zero).

Passo 5

Aplicar a regra ao nosso caso, observando que a terceira componente do vetor direção é zero.
Das equações paramétricas temos:
t=\frac{x-1}{6},\qquad t=\frac{y-0}{4}=\frac{y}{4}.
Como a terceira componente é 0, da equação paramétrica obtemos diretamente
z=-5.
Portanto as equações simétricas ficam (iguala-se as duas expressões de t e escreve-se z constante):
\frac{x-1}{6}=\frac{y}{4},\qquad z=-5.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): tomar t=1 nas paramétricas dá
x=1+6\cdot1=7,\qquad y=4\cdot1=4,\qquad z=-5,
que é exatamente o ponto B(7,4,-5). Logo a reta definida realmente passa por A e B.

Resposta

\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y}{4},\qquad z=-5

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