Defina uma equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(1,0,-5) e B(7,4,-5). As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor \vec{v}=(\overrightarrow{A B})=(6,4,0), são:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
Dados os pontos A(1,0,-5) e B(7,4,-5).
Pede as equações simétricas (também chamadas de equação reduzida) da reta r que passa por A e tem direção do vetor \vec{v}=(\overrightarrow{AB})=(6,4,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Coordenadas de A: x_A=1, y_A=0, z_A=-5.
Coordenadas de B: x_B=7, y_B=4, z_B=-5.
Vetor direção \vec{v}=(6,4,0) (isto foi dado no enunciado; também pode ser obtido por B-A).
Passo 2
Calcular explicitamente o vetor direção \overrightarrow{AB} a partir das coordenadas (mostrando a conta):
Explicação didática: o vetor direção indica para onde a reta “aponta” e é obtido subtraindo coordenadas do primeiro ponto do segundo. Cada componente é a diferença correspondente.
Passo 3
Escrever a equação paramétrica (equação reduzida) da reta a partir de A e de \vec{v}.
Regra geral: se a reta passa por (x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção (v_1,v_2,v_3), então sua forma paramétrica é
Explicação do que cada coisa significa: t percorre a reta; para cada t obtemos um ponto (x,y,z). O termo constante (1,0,-5) é um ponto da reta e os coeficientes de t são as componentes do vetor direção.
Passo 4
Converter a forma paramétrica para a forma simétrica (quando possível).
porém isso só é válido quando as componentes v_1,v_2,v_3 são diferentes de zero. Se alguma componente v_i é zero, então a coordenada correspondente é constante e deve ser escrita como \text{coordenada} = \text{valor\_constante} (não se divide por zero).
Passo 5
Aplicar a regra ao nosso caso, observando que a terceira componente do vetor direção é zero.