Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
( 0.5 pontos)Se um plano \pi é paralelo à uma reta r,então \vec{n} \cdot \vec{V}=0,sendo \vec{n} um vetor normal ao plano e \vec{V} um vetor diretor da reta.

Passo 1

O enunciado pede para indicar se a afirmativa é falsa ou verdadeira. A afirmativa é:
“Se um plano \pi é paralelo a uma reta r, então \vec{n}\cdot\vec{V}=0, sendo \vec{n} um vetor normal ao plano e \vec{V} um vetor diretor da reta.”
Informações dadas:
  • \pi é um plano.
  • r é uma reta.
  • \vec{n} é um vetor normal (não nulo) ao plano \pi.
  • \vec{V} é um vetor diretor (não nulo) da reta r.
  • A relação entre \pi e r é: o plano \pi é paralelo à reta r.
O que se pede: decidir se a igualdade \vec{n}\cdot\vec{V}=0 é sempre verdadeira sob essas hipóteses; se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar contraexemplo.

Passo 2

Vamos recordar e explicar os conceitos que precisamos (passo-a-passo, devagar e sem pressa).
Definição de vetor normal a um plano:
  • Um vetor \vec{n} é dito normal ao plano \pi quando ele é perpendicular a todo vetor que esteja contido em \pi.
  • Em símbolos: para qualquer vetor \vec{u} que esteja no plano \pi vale \vec{n}\cdot\vec{u}=0.
  • Intuição: \vec{n} aponta “para fora” do plano; qualquer direção dentro do plano forma ângulo reto com \vec{n}.
Definição de reta paralela a um plano:
  • Dizemos que a reta r é paralela ao plano \pi quando r não intersecta \pi e tem a mesma direção de alguma reta que esteja contida em \pi.
  • Em termos de vetores: existe um vetor \vec{u} contido em \pi e um escalar \lambda\neq 0 tais que \vec{V}=\lambda\vec{u}. Ou seja, o vetor diretor \vec{V} da reta é paralelo a algum vetor \vec{u} que pertence ao plano.
Definição e propriedade do produto escalar (dot product):
  • Para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} é zero se e somente se \vec{a} é perpendicular a \vec{b}.
  • Propriedade linear útil: \vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}) para qualquer escalar \lambda.

Passo 3

Aplicando essas definições ao problema:
  1. Como \vec{n} é normal ao plano \pi, todo vetor \vec{u} que esteja no plano satisfaz
\vec{n}\cdot\vec{u}=0.
  1. Como a reta r é paralela ao plano \pi, existe um vetor \vec{u} contido em \pi e um escalar \lambda\neq 0 tais que
\vec{V}=\lambda\vec{u}.
  1. Use a linearidade do produto escalar:
\vec{n}\cdot\vec{V}=\vec{n}\cdot(\lambda\vec{u})=\lambda(\vec{n}\cdot\vec{u}).
  1. Como \vec{n}\cdot\vec{u}=0 (da propriedade do normal), obtemos
\vec{n}\cdot\vec{V}=\lambda\cdot 0=0.
Portanto, a igualdade \vec{n}\cdot\vec{V}=0 segue diretamente das definições e propriedades acima.

Passo 4

Um exemplo numérico simples para fixar a ideia:
  • Tome o plano \pi com vetor normal \vec{n}=(0,0,1) (por exemplo, o plano z=0).
  • Tome uma reta r paralela a esse plano com vetor diretor \vec{V}=(1,2,0) (essa reta tem direção totalmente no plano z=0).
  • Calcule o produto escalar:
\vec{n}\cdot\vec{V}=(0,0,1)\cdot(1,2,0)=0\cdot1+0\cdot2+1\cdot0=0.
Isto confirma o resultado no caso concreto.

Passo 5

Observações e cuidados (para não cair em pegadinhas na prova):
  • Os vetores \vec{n} e \vec{V} devem ser não nulos (por definição de vetor normal e vetor diretor). Se alguém tentasse usar o vetor nulo, as definições ficam sem sentido.
  • O caso em que a reta r está contida no plano \pi é um subcaso de “reta paralela ao plano”: a propriedade continua válida, pois então \vec{V} é literalmente um vetor do plano e, logo, perpendicular a \vec{n}.
  • Se a reta intersecta o plano (não é paralela), em geral \vec{n}\cdot\vec{V}\neq 0.

Resposta

Verdadeira.

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