Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
( 0.5 pontos)Se um plano
é paralelo à uma reta
,então
,sendo
um vetor normal ao plano e
um vetor diretor da reta.
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
( 0.5 pontos)Se um plano
Passo 1
O enunciado pede para indicar se a afirmativa é falsa ou verdadeira. A afirmativa é:
“Se um plano é paralelo a uma reta
, então
, sendo
um vetor normal ao plano e
um vetor diretor da reta.”
“Se um plano
Informações dadas:
-
é um plano. -
é uma reta. -
é um vetor normal (não nulo) ao plano . -
é um vetor diretor (não nulo) da reta . - A relação entre
e é: o plano é paralelo à reta .
O que se pede: decidir se a igualdade
é sempre verdadeira sob essas hipóteses; se for verdadeira, justificar; se for falsa, dar contraexemplo.
Passo 2
Vamos recordar e explicar os conceitos que precisamos (passo-a-passo, devagar e sem pressa).
Definição de vetor normal a um plano:
- Um vetor
é dito normal ao plano quando ele é perpendicular a todo vetor que esteja contido em . - Em símbolos: para qualquer vetor
que esteja no plano vale . - Intuição:
aponta “para fora” do plano; qualquer direção dentro do plano forma ângulo reto com .
Definição de reta paralela a um plano:
- Dizemos que a reta
é paralela ao plano quando não intersecta e tem a mesma direção de alguma reta que esteja contida em . - Em termos de vetores: existe um vetor
contido em e um escalar tais que . Ou seja, o vetor diretor da reta é paralelo a algum vetor que pertence ao plano.
Definição e propriedade do produto escalar (dot product):
- Para dois vetores
e , o produto escalar é zero se e somente se é perpendicular a . - Propriedade linear útil:
para qualquer escalar .
Passo 3
Aplicando essas definições ao problema:
- Como
é normal ao plano , todo vetor que esteja no plano satisfaz
- Como a reta
é paralela ao plano , existe um vetor contido em e um escalar tais que
- Use a linearidade do produto escalar:
- Como
(da propriedade do normal), obtemos
Portanto, a igualdade
segue diretamente das definições e propriedades acima.
Passo 4
Um exemplo numérico simples para fixar a ideia:
- Tome o plano
com vetor normal (por exemplo, o plano ). - Tome uma reta
paralela a esse plano com vetor diretor (essa reta tem direção totalmente no plano ). - Calcule o produto escalar:
Isto confirma o resultado no caso concreto.
Passo 5
Observações e cuidados (para não cair em pegadinhas na prova):
- Os vetores
e devem ser não nulos (por definição de vetor normal e vetor diretor). Se alguém tentasse usar o vetor nulo, as definições ficam sem sentido. - O caso em que a reta
está contida no plano é um subcaso de “reta paralela ao plano”: a propriedade continua válida, pois então é literalmente um vetor do plano e, logo, perpendicular a . - Se a reta intersecta o plano (não é paralela), em geral
.
Resposta
Verdadeira.