Defina:
e. Equilíbrio rotacional (utilize a primeira lei de Newton para a rotação)

Passo 1

O enunciado pede que eu defina “equilíbrio rotacional” usando a primeira lei de Newton para a rotação.
Informações do problema: não há outros dados numéricos; a tarefa é conceitual e deve usar a versão rotacional da primeira lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma rotacional da segunda lei de Newton, porque a primeira lei rotacional é direta a partir dela. A segunda lei rotacional escreve-se assim:
\sum \tau_{\text{ext}} = I\,\alpha
onde:
  • \sum \tau_{\text{ext}} é a soma dos torques (momentos) externos atuando sobre o corpo (torques resultantes);
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado — uma medida de quanto o corpo “resiste” a mudar seu movimento de rotação (unidades: \mathrm{kg\cdot m^2});
  • \alpha é a aceleração angular (unidade: \mathrm{rad/s^2}).
Explicando didaticamente: essa equação é análoga à forma linear \sum F_{\text{ext}} = m a. No caso rotacional, forças geram torques que produzem aceleração angular proporcional ao “peso” de inércia I.

Passo 3

A primeira lei de Newton para a rotação corresponde ao caso em que não há tendência do corpo a mudar seu estado de rotação — ou seja, a aceleração angular é nula. A partir de
\sum \tau_{\text{ext}} = I\,\alpha,
se colocarmos \alpha=0 obtemos
\sum \tau_{\text{ext}} = 0.
E o raciocínio inverso vale também: se a soma dos torques externos é zero, então I\alpha=0 e, como normalmente I\neq 0, segue que \alpha=0. Portanto a condição equivalente é \sum \tau_{\text{ext}}=0.

Passo 4

Agora preciso explicar o que é torque, porque você vai usar isso direto na prova. O torque de uma força é dado por
\vec\tau = \vec r \times \vec F,
onde:
  • \vec r é o vetor que vai do eixo (ou ponto de pivô) até o ponto de aplicação da força;
  • \vec F é a força aplicada;
  • o símbolo \times é o produto vetorial; a direção de \vec\tau segue a regra da mão direita e o sentido (sinal) representa sentido de rotação (por convenção, pode-se tomar anti-horário positivo e horário negativo).
A magnitude do torque é
\tau = r\,F\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec r e \vec F. Observações práticas úteis:
  • Se a força passa exatamente pelo eixo ( r=0) então \tau=0.
  • Para alavancas simples, \tau = F\cdot d, onde d é a distância perpendicular do eixo à linha de ação da força (braço de alavanca).

Passo 5

Diferenciação importante que cai em prova: equilíbrio rotacional significa \alpha=0 (sem aceleração angular). Isso pode ocorrer de duas maneiras:
  • O corpo pode estar em repouso com velocidade angular \omega=0 e continuar em repouso — chamado equilíbrio rotacional estático.
  • O corpo pode girar com velocidade angular constante \omega= constante diferente de zero — chamado equilíbrio rotacional dinâmico (sem aceleração).
    Em ambos os casos a condição matemática é a mesma:
\sum \tau_{\text{ext}} = 0.

Passo 6

Receita prática para aplicar na prova (passo a passo):
  1. Escolha um eixo/pivô conveniente (escolher o ponto onde aparecem forças desconhecidas pode simplificar porque o torque dessas forças pode ser zero).
  2. Desenhe todas as forças externas e calcule cada torque magnitudinalmente usando \tau = rF\sin\theta.
  3. Atribua sinais (por exemplo, anti-horário positivo, horário negativo).
  4. Escreva \sum \tau_{\text{ext}} = 0 e resolva a equação para a incógnita.

Passo 7

Um exemplo clássico (bem mastigado) — gangorra/seesaw: dois pesos m_1 e m_2 aplicados a distâncias d_1 e d_2 do pivô. As forças são os pesos m_1 g e m_2 g (vertical para baixo). Os torques relativos ao pivô têm magnitudes m_1 g d_1 e m_2 g d_2. Para equilíbrio rotacional:
m_1 g d_1 = m_2 g d_2.
Cancelando g (presente dos dois lados), obtemos a condição prática muito usada:
m_1 d_1 = m_2 d_2.
Isso mostra como usar \sum \tau_{\text{ext}}=0 em conta de prova sem complicação.

Passo 8

Observações finais rápidas e truques de prova:
  • Use o pivô no ponto onde existem forças desconhecidas para eliminar incógnitas do somatório de torques.
  • Lembre-se: só torques externos contam no \sum \tau_{\text{ext}}. Torques internos entre partes do mesmo corpo não mudam o momento angular total do corpo livre.
  • Se a questão pedir “equilíbrio” sem especificar, verifique se exigem também \sum \vec F_{\text{ext}}=0 (equilíbrio estático total) — mas para “equilíbrio rotacional” basta \sum \tau_{\text{ext}}=0.

Resposta

Equilíbrio rotacional: um corpo está em equilíbrio rotacional quando a soma dos torques externos sobre ele é zero, isto é,
\sum \tau_{\text{ext}} = 0,
o que, pela segunda lei rotacional \sum \tau_{\text{ext}} = I\alpha, implica \alpha=0 (não há aceleração angular).

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