Enquanto uma moeda é mantida fixa sobre a superfície de uma mesa, uma segunda moeda, idêntica à primeira, gira em volta dela sem deslizamento. Quando a segunda moeda retornar à sua posição original, de quanto ela girou? Substitua a moeda móvel por outra de raio igual a duas vezes ao raio da moeda fixa. Nessa situação, quando a segunda moeda retornar à sua posição original, de quanto ela girou?
Passo 1
O enunciado descreve duas situações com uma moeda fixa sobre a mesa e outra moeda que gira ao redor dela sem deslizamento. As perguntas são: quando a moeda móvel retorna à sua posição original (ou seja, completa uma volta ao redor da moeda fixa), de quanto ela girou em torno do seu próprio centro? Dados relevantes fornecidos:
- Na primeira situação, as moedas são idênticas: a moeda fixa tem raio
e a moeda móvel tem raio com . - Na segunda situação, a moeda móvel tem raio igual ao dobro da moeda fixa:
. - A moeda móvel gira em torno da fixa sem deslizamento (rolling without slipping).
- Queremos a quantidade de giros completos da moeda móvel quando ela volta ao ponto inicial (ou seja, o número de rotações em torno do próprio eixo).
Passo 2
Identificar o caminho seguido pelo centro da moeda móvel. Como as duas moedas tocam-se externamente e permanecem sempre em contato, o centro da moeda móvel está sempre à distância
do centro da moeda fixa. Portanto o centro da moeda móvel descreve uma circunferência de raio
. O comprimento dessa trajetória (o arco total percorrido pelo ponto de contato ao andar em volta uma vez) é a circunferência:
Aqui
é o comprimento do caminho percorrido pelo centro da moeda móvel durante uma volta completa ao redor da moeda fixa.
Passo 3
Explicar a condição de rolamento sem deslizamento e relacioná-la à rotação da moeda móvel. Rolamento sem deslizamento significa que, ao longo do movimento, o ponto de contato entre as moedas não desliza: o deslocamento do ponto de contato sobre a borda da moeda móvel é igual ao deslocamento ao longo da trajetória. Se a moeda móvel girou um ângulo
(em radianos) em torno do seu centro, então o comprimento de arco “rodado” sobre a sua borda é
onde
é o raio da moeda móvel e
é o deslocamento angular. Essa é a fórmula básica que liga deslocamento linear e deslocamento angular: comprimento de arco
raio
ângulo (em radianos).
Passo 4
Igualar o comprimento percorrido pela moeda (o comprimento da trajetória do centro) ao comprimento de arco correspondente à rotação da moeda móvel, porque não há deslizamento. Assim:
Isolando
obtemos
O número de rotações completas (voltas) da moeda móvel é o ângulo
dividido por
:
Interpretação simples:
vem de uma volta “geométrica” por causa do centro fazer uma circunferência, e
é a contribuição extra dependendo da razão entre raios.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso 1 (moedas idênticas). Aqui
. Substituindo em
temos
Logo, quando as moedas têm o mesmo raio, a moeda móvel gira
rotações completas ao redor do seu próprio eixo enquanto percorre uma volta ao redor da moeda fixa. (Intuição: uma volta por causa da translação, outra volta extra por causa do contato.)
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso 2 (moeda móvel com raio
). Substituindo:
Portanto, a moeda móvel gira
rotações completas (ou seja, uma volta e meia) quando volta à posição original.
Passo 7
Verificações e intuição final: a fórmula geral
faz sentido em extremos — por exemplo, se
for muito grande em relação a
, então
(quase só a volta geométrica); se
dá
(caso clássico). Isso ajuda a confiar no resultado. Bora que tá indo bem — esses problemas têm cara de pegadinha, mas viram rotina com esse raciocínio!
Resposta
Duas rotações completas, isto é,
.
Uma volta e meia, isto é, .
Uma volta e meia, isto é,