Enquanto uma moeda é mantida fixa sobre a superfície de uma mesa, uma segunda moeda, idêntica à primeira, gira em volta dela sem deslizamento. Quando a segunda moeda retornar à sua posição original, de quanto ela girou? Substitua a moeda móvel por outra de raio igual a duas vezes ao raio da moeda fixa. Nessa situação, quando a segunda moeda retornar à sua posição original, de quanto ela girou?

Passo 1

O enunciado descreve duas situações com uma moeda fixa sobre a mesa e outra moeda que gira ao redor dela sem deslizamento. As perguntas são: quando a moeda móvel retorna à sua posição original (ou seja, completa uma volta ao redor da moeda fixa), de quanto ela girou em torno do seu próprio centro? Dados relevantes fornecidos:
  • Na primeira situação, as moedas são idênticas: a moeda fixa tem raio R e a moeda móvel tem raio r com r=R.
  • Na segunda situação, a moeda móvel tem raio igual ao dobro da moeda fixa: r=2R.
  • A moeda móvel gira em torno da fixa sem deslizamento (rolling without slipping).
  • Queremos a quantidade de giros completos da moeda móvel quando ela volta ao ponto inicial (ou seja, o número de rotações em torno do próprio eixo).

Passo 2

Identificar o caminho seguido pelo centro da moeda móvel. Como as duas moedas tocam-se externamente e permanecem sempre em contato, o centro da moeda móvel está sempre à distância R+r do centro da moeda fixa. Portanto o centro da moeda móvel descreve uma circunferência de raio R+r. O comprimento dessa trajetória (o arco total percorrido pelo ponto de contato ao andar em volta uma vez) é a circunferência:
s = 2\pi (R + r).
Aqui s é o comprimento do caminho percorrido pelo centro da moeda móvel durante uma volta completa ao redor da moeda fixa.

Passo 3

Explicar a condição de rolamento sem deslizamento e relacioná-la à rotação da moeda móvel. Rolamento sem deslizamento significa que, ao longo do movimento, o ponto de contato entre as moedas não desliza: o deslocamento do ponto de contato sobre a borda da moeda móvel é igual ao deslocamento ao longo da trajetória. Se a moeda móvel girou um ângulo \theta (em radianos) em torno do seu centro, então o comprimento de arco “rodado” sobre a sua borda é
\text{arco} = r\theta,
onde r é o raio da moeda móvel e \theta é o deslocamento angular. Essa é a fórmula básica que liga deslocamento linear e deslocamento angular: comprimento de arco = raio \times ângulo (em radianos).

Passo 4

Igualar o comprimento percorrido pela moeda (o comprimento da trajetória do centro) ao comprimento de arco correspondente à rotação da moeda móvel, porque não há deslizamento. Assim:
r\theta = s = 2\pi (R + r).
Isolando \theta obtemos
\theta = \frac{2\pi (R + r)}{r}.
O número de rotações completas (voltas) da moeda móvel é o ângulo \theta dividido por 2\pi:
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{R + r}{r} = \frac{R}{r} + 1.
Interpretação simples: 1 vem de uma volta “geométrica” por causa do centro fazer uma circunferência, e \frac{R}{r} é a contribuição extra dependendo da razão entre raios.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso 1 (moedas idênticas). Aqui r = R. Substituindo em
N = \frac{R}{r} + 1
temos
N = \frac{R}{R} + 1 = 1 + 1 = 2.
Logo, quando as moedas têm o mesmo raio, a moeda móvel gira 2 rotações completas ao redor do seu próprio eixo enquanto percorre uma volta ao redor da moeda fixa. (Intuição: uma volta por causa da translação, outra volta extra por causa do contato.)

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso 2 (moeda móvel com raio r=2R). Substituindo:
N = \frac{R}{r} + 1 = \frac{R}{2R} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
Portanto, a moeda móvel gira \tfrac{3}{2} rotações completas (ou seja, uma volta e meia) quando volta à posição original.

Passo 7

Verificações e intuição final: a fórmula geral N = \dfrac{R}{r}+1 faz sentido em extremos — por exemplo, se r for muito grande em relação a R, então N\approx 1 (quase só a volta geométrica); se r=R N=2 (caso clássico). Isso ajuda a confiar no resultado. Bora que tá indo bem — esses problemas têm cara de pegadinha, mas viram rotina com esse raciocínio!

Resposta

Duas rotações completas, isto é, 2.
Uma volta e meia, isto é, \dfrac{3}{2}.

Exercícios relacionados