- Defina o espaço vetorial gerado por
.
Passo 1
O enunciado pede para definir o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores
.
As informações dadas são os três vetores (peguei estes vetores do enunciado):
As informações dadas são os três vetores (peguei estes vetores do enunciado):
-
, -
, -
.
O que se pede: descrever explicitamente o subespaço de
formado por todas as combinações lineares desses vetores (ou seja, o span), e, implicitamente, identificar uma base e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Vamos começar lembrando e aplicando a definição de espaço gerado (span). Dizer que um vetor
pertence ao espaço gerado por
significa que existem escalares
tais que
Escrevendo isso componente a componente com os vetores dados:
Aqui eu somei as componentes correspondentes para obter cada coordenada do resultado.
Passo 3
Note algo importante na expressão acima: as duas primeiras componentes são iguais, ambas valendo
. A terceira componente é
. Logo, qualquer vetor
gerado por esses três vetores tem a forma
ou seja, sempre satisfaz
. Isso nos dá uma condição necessária: todo vetor do span tem primeira e segunda componente iguais.
Passo 4
Agora vemos se essa condição é também suficiente — isto é, se qualquer vetor da forma
pode ser escrito como combinação linear de
. Pegue um vetor arbitrário
com
. Queremos encontrar
tais que
Da terceira componente obtemos imediatamente
. Substituindo, a primeira componente exige
. Há muitas escolhas de
e
que satisfazem isso; por exemplo, escolhemos
e então
. Com essa escolha:
temos
Portanto, todo vetor
é realmente uma combinação linear dos vetores dados. Concluímos que a condição
descreve exatamente o span.
Passo 5
Assim podemos descrever o espaço gerado de forma simples e parametrizada:
Outra forma útil: é o subespaço de
definido pela equação linear
Passo 6
Agora vamos extrair uma base e a dimensão. A parametrização com
e
mostra que é um subespaço de dimensão
. Para obter uma base, escrevemos
Verifique que
pertence ao span dos vetores originais: de fato,
Portanto
e
estão no span e geram todo o subespaço. São linearmente independentes porque, se
pelas primeiras componentes vem
e pela terceira
. Logo são independentes. Assim uma base natural é
e a dimensão é
.
Passo 7
Observações finais rápidas (úteis para prova):
(logo redundante) e
contribui com a componente
não nula; por isso os três originais geram um plano (não uma reta) em
, precisamente o plano
.
Resposta
Base: