1. Defina o espaço vetorial gerado por \{(1,1,0),(2,2,1),(-1,-1,0)\}.

Passo 1

O enunciado pede para definir o espaço vetorial gerado pelo conjunto de vetores \{(1,1,0),(2,2,1),(-1,-1,0)\}.
As informações dadas são os três vetores (peguei estes vetores do enunciado):
  • v_1 = (1,1,0),
  • v_2 = (2,2,1),
  • v_3 = (-1,-1,0).
O que se pede: descrever explicitamente o subespaço de \mathbb{R}^3 formado por todas as combinações lineares desses vetores (ou seja, o span), e, implicitamente, identificar uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Vamos começar lembrando e aplicando a definição de espaço gerado (span). Dizer que um vetor w pertence ao espaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} significa que existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
w = a v_1 + b v_2 + c v_3.
Escrevendo isso componente a componente com os vetores dados:
a(1,1,0) + b(2,2,1) + c(-1,-1,0) = (a+2b-c,\; a+2b-c,\; b).
Aqui eu somei as componentes correspondentes para obter cada coordenada do resultado.

Passo 3

Note algo importante na expressão acima: as duas primeiras componentes são iguais, ambas valendo a+2b-c. A terceira componente é b. Logo, qualquer vetor w gerado por esses três vetores tem a forma
w=(x,y,z)=(a+2b-c,\; a+2b-c,\; b),
ou seja, sempre satisfaz x=y. Isso nos dá uma condição necessária: todo vetor do span tem primeira e segunda componente iguais.

Passo 4

Agora vemos se essa condição é também suficiente — isto é, se qualquer vetor da forma (t,t,s) pode ser escrito como combinação linear de v_1,v_2,v_3. Pegue um vetor arbitrário (t,t,s) com t,s\in\mathbb{R}. Queremos encontrar a,b,c tais que
(a+2b-c,\; a+2b-c,\; b)=(t,t,s).
Da terceira componente obtemos imediatamente b=s. Substituindo, a primeira componente exige a+2s-c=t. Há muitas escolhas de a e c que satisfazem isso; por exemplo, escolhemos c=0 e então a=t-2s. Com essa escolha:
a(t-2s),\quad b=s,\quad c=0
temos
(t-2s)v_1 + s v_2 + 0\cdot v_3 = (t,t,s).
Portanto, todo vetor (t,t,s) é realmente uma combinação linear dos vetores dados. Concluímos que a condição x=y descreve exatamente o span.

Passo 5

Assim podemos descrever o espaço gerado de forma simples e parametrizada:
\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\{(t,t,s)\mid t\in\mathbb{R},\\ s\in\mathbb{R}\}.
Outra forma útil: é o subespaço de \mathbb{R}^3 definido pela equação linear
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y\}.

Passo 6

Agora vamos extrair uma base e a dimensão. A parametrização com t e s mostra que é um subespaço de dimensão 2. Para obter uma base, escrevemos
(t,t,s) = t(1,1,0) + s(0,0,1).
Verifique que (0,0,1) pertence ao span dos vetores originais: de fato,
v_2 - 2v_1 = (2,2,1) - 2(1,1,0) = (0,0,1).
Portanto (1,1,0) e (0,0,1) estão no span e geram todo o subespaço. São linearmente independentes porque, se
\alpha(1,1,0) + \beta(0,0,1) = (0,0,0),
pelas primeiras componentes vem \alpha=0 e pela terceira \beta=0. Logo são independentes. Assim uma base natural é \{(1,1,0),(0,0,1)\} e a dimensão é 2.

Passo 7

Observações finais rápidas (úteis para prova): v_3 = -v_1 (logo redundante) e v_2 contribui com a componente z não nula; por isso os três originais geram um plano (não uma reta) em \mathbb{R}^3, precisamente o plano x=y.

Resposta

\mathrm{span}\{(1,1,0),(2,2,1),(-1,-1,0)\}=\{(t,t,s)\mid t,s\in\mathbb{R}\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=y\}
Base: \{(1,1,0),(0,0,1)\}
\dim = 2

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