- Defina o espaço vetorial gerado por
.
Passo 1
O enunciado pede para definir o espaço vetorial gerado pelo conjunto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Dois vetores em
: e .
O que se espera: uma descrição do subespaço deformado por todas as combinações lineares desses vetores (isto é, o “span” ou “gerador”), possivelmente indicando uma forma paramétrica, uma base e a dimensão.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (de forma bem direta): o espaço vetorial gerado por
, denotado
, é o conjunto de todas as combinações lineares
onde
e
são escalares reais. Aqui
e
representam os coeficientes das combinações lineares — na prova, isso é literalmente “pegar múltiplos dos vetores e somar”.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear geral usando dois parâmetros (escolho
e
para os escalares, mas qualquer letra serve). Calcule:
Explicando componente a componente:
- 1ª componente:
. - 2ª componente:
. - 3ª componente:
. - 4ª componente:
.
Passo 4
A partir da expressão acima, podemos descrever o espaço gerado em forma paramétrica:
Aqui
e
são quaisquer números reais; variar
gera todos os vetores do subespaço.
Passo 5
Uma reescrita útil é tomar
e
(ou seja, usar as duas primeiras coordenadas como parâmetros). Assim:
Isto mostra que o subespaço é o conjunto de vetores
que satisfazem as relações
Essa é uma descrição por equações lineares explícitas.
Passo 6
Agora mostro que
e
são linearmente independentes, então formam uma base do subespaço que geram. Considere escalares
tais que
Das componentes obtemos o sistema
As duas primeiras equações já dão
e
, que satisfazem as demais. Logo a única combinação linear que dá o vetor nulo é trivial, portanto
e
são linearmente independentes. Consequência: eles formam uma base do subespaço gerado e a dimensão desse subespaço é
.
Resposta
Base: