1. Defina o espaço vetorial gerado por \{(1,0,1,2),(0,1,-1,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para definir o espaço vetorial gerado pelo conjunto \{(1,0,1,2),(0,1,-1,1)\}.
Informações dadas:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^4: v_1=(1,0,1,2) e v_2=(0,1,-1,1).
    O que se espera: uma descrição do subespaço de \mathbb{R}^4 formado por todas as combinações lineares desses vetores (isto é, o “span” ou “gerador”), possivelmente indicando uma forma paramétrica, uma base e a dimensão.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (de forma bem direta): o espaço vetorial gerado por \{v_1,v_2\}, denotado \mathrm{span}\{v_1,v_2\}, é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha v_1+\beta v_2
onde \alpha e \beta são escalares reais. Aqui \alpha e \beta representam os coeficientes das combinações lineares — na prova, isso é literalmente “pegar múltiplos dos vetores e somar”.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear geral usando dois parâmetros (escolho s e t para os escalares, mas qualquer letra serve). Calcule:
s(1,0,1,2)+t(0,1,-1,1)=(s,\;t,\;s-t,\;2s+t).
Explicando componente a componente:
  • 1ª componente: s\cdot 1 + t\cdot 0 = s.
  • 2ª componente: s\cdot 0 + t\cdot 1 = t.
  • 3ª componente: s\cdot 1 + t\cdot (-1) = s-t.
  • 4ª componente: s\cdot 2 + t\cdot 1 = 2s+t.

Passo 4

A partir da expressão acima, podemos descrever o espaço gerado em forma paramétrica:
\mathrm{span}\{(1,0,1,2),(0,1,-1,1)\}=\{(s,\;t,\;s-t,\;2s+t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.
Aqui s e t são quaisquer números reais; variar s,t gera todos os vetores do subespaço.

Passo 5

Uma reescrita útil é tomar x=s e y=t (ou seja, usar as duas primeiras coordenadas como parâmetros). Assim:
\mathrm{span}\{v_1,v_2\}=\{(x,\;y,\;x-y,\;2x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Isto mostra que o subespaço é o conjunto de vetores (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 que satisfazem as relações
z=x-y,\qquad w=2x+y.
Essa é uma descrição por equações lineares explícitas.

Passo 6

Agora mostro que v_1 e v_2 são linearmente independentes, então formam uma base do subespaço que geram. Considere escalares \alpha,\beta tais que
\alpha v_1+\beta v_2=(0,0,0,0).
Das componentes obtemos o sistema
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad \alpha-\beta=0,\qquad 2\alpha+\beta=0.
As duas primeiras equações já dão \alpha=0 e \beta=0, que satisfazem as demais. Logo a única combinação linear que dá o vetor nulo é trivial, portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes. Consequência: eles formam uma base do subespaço gerado e a dimensão desse subespaço é 2.

Resposta

\mathrm{span}\{(1,0,1,2),(0,1,-1,1)\}=\{(s,t,s-t,2s+t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}=\{(x,y,x-y,2x+y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Base: \{(1,0,1,2),(0,1,-1,1)\}.
\dim=2.

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