Determine uma base para o espaço gerado pelos vetores (3,1,0) e (0,2,-2).
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(3,1,0),\qquad v_2=(0,2,-2).
A pergunta é: determinar uma base para o espaço gerado por esses vetores (isto é, para \operatorname{span}\{v_1,v_2\}). Vou listar claramente o que se pede:
Encontrar um conjunto de vetores que gere exatamente o mesmo subespaço gerado por v_1 e v_2.
Esse conjunto deve ser linearmente independente (definição de base).
Nenhuma outra informação é fornecida.
Passo 2
Lembrete didático (conceitos essenciais, explicados com calma):
Um conjunto de vetores forma uma base de um subespaço quando (i) gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
Para testar independência de dois vetores v_1 e v_2 é suficiente verificar se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2=0
é \alpha=\beta=0. Aqui \alpha e \beta são escalares (números reais) que aparecem numa combinação linear. Se existir uma solução não-trivial (alguma das constantes diferente de zero), os vetores são dependentes; se a única solução for trivial (todas zero), são independentes.
Se dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, então eles já formam uma base do plano (subespaço de dimensão 2) que geram — ou seja, não é necessário procurar outros vetores (a menos que queiramos uma base com vetores mais “simples”).
Passo 3
Aplicando o teste de independência: consideramos a combinação linear igual a zero
\alpha(3,1,0)+\beta(0,2,-2)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema de equações para \alpha e \beta:
Da primeira equação segue \;3\alpha=0\;\Rightarrow\;\alpha=0.
Da terceira equação segue \;-2\beta=0\;\Rightarrow\;\beta=0.
Substituindo \alpha=0 e \beta=0 na segunda equação dá 0+0=0, que é consistente.
Portanto a única solução é \alpha=\beta=0. Conclusão: v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Passo 5
Como v_1 e v_2 são independentes, e por construção \operatorname{span}\{v_1,v_2\} é o subespaço gerado por eles, o conjunto \{v_1,v_2\} é uma base do espaço gerado por esses vetores. Não é necessário adicionar nem remover vetores: dois vetores independentes geram um plano (dimensão 2) em \mathbb{R}^3 e formam uma base desse plano.
Passo 6
(Explicação adicional prática — como representar um vetor qualquer do subespaço)
Se quiser ver como qualquer vetor do subespaço se escreve como combinação linear, escrevemos