1. Determine uma base para o espaço gerado pelos vetores (3,1,0) e (0,2,-2).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(3,1,0),\qquad v_2=(0,2,-2).
A pergunta é: determinar uma base para o espaço gerado por esses vetores (isto é, para \operatorname{span}\{v_1,v_2\}). Vou listar claramente o que se pede:
  • Encontrar um conjunto de vetores que gere exatamente o mesmo subespaço gerado por v_1 e v_2.
  • Esse conjunto deve ser linearmente independente (definição de base).
    Nenhuma outra informação é fornecida.

Passo 2

Lembrete didático (conceitos essenciais, explicados com calma):
  • Um conjunto de vetores forma uma base de um subespaço quando (i) gera o subespaço (ou seja, qualquer vetor do subespaço é combinação linear desses vetores) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros).
  • Para testar independência de dois vetores v_1 e v_2 é suficiente verificar se a única solução do sistema
\alpha v_1+\beta v_2=0
é \alpha=\beta=0. Aqui \alpha e \beta são escalares (números reais) que aparecem numa combinação linear. Se existir uma solução não-trivial (alguma das constantes diferente de zero), os vetores são dependentes; se a única solução for trivial (todas zero), são independentes.
  • Se dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes, então eles já formam uma base do plano (subespaço de dimensão 2) que geram — ou seja, não é necessário procurar outros vetores (a menos que queiramos uma base com vetores mais “simples”).

Passo 3

Aplicando o teste de independência: consideramos a combinação linear igual a zero
\alpha(3,1,0)+\beta(0,2,-2)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema de equações para \alpha e \beta:
\begin{cases} 3\alpha + 0\beta = 0,\\[4pt] 1\alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 0\alpha -2\beta = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação segue \;3\alpha=0\;\Rightarrow\;\alpha=0.
  • Da terceira equação segue \;-2\beta=0\;\Rightarrow\;\beta=0.
  • Substituindo \alpha=0 e \beta=0 na segunda equação dá 0+0=0, que é consistente.
Portanto a única solução é \alpha=\beta=0. Conclusão: v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Como v_1 e v_2 são independentes, e por construção \operatorname{span}\{v_1,v_2\} é o subespaço gerado por eles, o conjunto \{v_1,v_2\} é uma base do espaço gerado por esses vetores. Não é necessário adicionar nem remover vetores: dois vetores independentes geram um plano (dimensão 2) em \mathbb{R}^3 e formam uma base desse plano.

Passo 6

(Explicação adicional prática — como representar um vetor qualquer do subespaço)
Se quiser ver como qualquer vetor do subespaço se escreve como combinação linear, escrevemos
( x,y,z ) = \alpha(3,1,0)+\beta(0,2,-2).
Das componentes obtemos
x=3\alpha,\qquad y=\alpha+2\beta,\qquad z=-2\beta.
Daqui \alpha=\dfrac{x}{3} e \beta=-\dfrac{z}{2}. Substituindo em y dá a condição de pertença ao subespaço:
y=\dfrac{x}{3}-z.
Isso mostra explicitamente quais vetores (x,y,z) pertencem ao plano gerado por v_1 e v_2 e como encontrar os coeficientes da combinação linear.

Resposta

\{(3,1,0),\,(0,2,-2)\}

Exercícios relacionados