Isto é, todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos três dados.
Em \mathbb{R}^{3}, se três vetores são linearmente independentes então formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, o span é todo \mathbb{R}^{3}. Assim, basta testar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
Um teste prático para três vetores em \mathbb{R}^{3} é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas): se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 3
Formulo a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.]
Passo 5
Consequência da independência no contexto de \mathbb{R}^{3}\):
- Três vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^{3}\) formam uma base de \(\mathbb{R}^{3}\).
- Portanto
\[\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
Além disso, para ver na prática como escrever um vetor arbitrário (x,y,z) como combinação linear desses vetores (útil em provas), resolvo
Como aparecem soluções para quaisquer x,y,z, isso confirma que qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} é combinação linear dos três dados (mesma conclusão obtida pelo determinante).]
Passo 6
Resumo prático (dicas para a prova):
Escreva a definição de span e teste independência.
Em \mathbb{R}^{3}, calcular \det da matriz cujos vetores são colunas é rápido e decisivo.
Se \det\neq0 conclua imediatamente que o span é \mathbb{R}^{3} e que os vetores formam uma base.
Se pedirem, mostre explicitamente a resolução do sistema para expressar um vetor genérico como combinação linear (como fiz acima).