1. Defina o espaço vetorial gerado por \{(1,0,1),(0,1,-1),(2,2,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o espaço vetorial gerado pelo conjunto \{(1,0,1),(0,1,-1),(2,2,1)\}.
Informações dadas:
  • Vetor v_{1}=(1,0,1).
  • Vetor v_{2}=(0,1,-1).
  • Vetor v_{3}=(2,2,1).
A pergunta implícita é: qual é \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}? (isto é, o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores).

Passo 2

Definição e ideia que vou usar (sem resolver ainda):
  • A definição do espaço gerado (ou span) é
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\{\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}\mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\}.
Isto é, todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos três dados.
  • Em \mathbb{R}^{3}, se três vetores são linearmente independentes então formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, o span é todo \mathbb{R}^{3}. Assim, basta testar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
  • Um teste prático para três vetores em \mathbb{R}^{3} é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas): se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 3

Formulo a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0, então os vetores são independentes e o span é \mathbb{R}^{3}.]

Passo 4

Cálculo do determinante de A por expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot(-1)=1+2=3,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=0\cdot(-1)-1\cdot1=0-1=-1.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot 3 + 2\cdot(-1)=3-2=1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.]

Passo 5

Consequência da independência no contexto de \mathbb{R}^{3}\): - Três vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^{3}\) formam uma base de \(\mathbb{R}^{3}\). - Portanto \[\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
Além disso, para ver na prática como escrever um vetor arbitrário (x,y,z) como combinação linear desses vetores (útil em provas), resolvo
(x,y,z)=a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}.
Isto dá o sistema (coordenada a coordenada)
\begin{cases} a+2c = x,\\[4pt] b+2c = y,\\[4pt] a-b+c = z. \end{cases}
Resolvo-o: da primeira a=x-2c\]; da segunda \(b=y-2c. Substituindo na terceira:
(x-2c)-(y-2c)+c=z \quad\Rightarrow\quad x-y+c=z \quad\Rightarrow\quad c=z-x+y.
Então
c=z-x+y,
a=x-2c= x-2(z-x+y)=3x-2y-2z,
b=y-2c= y-2(z-x+y)=2x-y-2z.
Como aparecem soluções para quaisquer x,y,z, isso confirma que qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} é combinação linear dos três dados (mesma conclusão obtida pelo determinante).]

Passo 6

Resumo prático (dicas para a prova):
  • Escreva a definição de span e teste independência.
  • Em \mathbb{R}^{3}, calcular \det da matriz cujos vetores são colunas é rápido e decisivo.
  • Se \det\neq0 conclua imediatamente que o span é \mathbb{R}^{3} e que os vetores formam uma base.
  • Se pedirem, mostre explicitamente a resolução do sistema para expressar um vetor genérico como combinação linear (como fiz acima).

Resposta

\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,-1),(2,2,1)\}=\mathbb{R}^{3}

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