1. Verifique se \{(2,1),(-1,-2)\} é uma base para R^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto formado por dois vetores em \mathbb{R}^{2}:
  • \,(2,1)\,
  • \,(-1,-2)\,
O que se pede: verificar se o conjunto \{(2,1),(-1,-2)\} é uma base para \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • Há exatamente dois vetores no conjunto.
  • Cada vetor é um par ordenado de números reais (coordenas em \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

O que significa “ser uma base” (explicação didática):
  • Um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{2} se e somente se dois requisitos forem satisfeitos:
    1. Os vetores são linearmente independentes.
    2. Os vetores geram (espalham, formam o span de) todo \mathbb{R}^{2}.
Explicação simplificada e útil para a prova:
  • Em \mathbb{R}^{2}, qualquer conjunto com exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes já gera \mathbb{R}^{2}. Ou seja, para dois vetores em \mathbb{R}^{2} basta checar a independência linear; se forem independentes, automaticamente formam uma base.
  • “Linearmente independentes” quer dizer que a única solução da equação
c_{1}\,(2,1)+c_{2}\,(-1,-2)= (0,0)
é \,c_{1}=0 e c_{2}=0.

Passo 3

Método prático para testar independência em \mathbb{R}^{2} (a ferramenta que se usa frequentemente na prova):
  • Formar a matriz 2\times2 cujas colunas são os vetores dados:
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
  • Calcular o determinante de A. A propriedade importante é:
    • Se \det(A)\neq 0 então as colunas de A são linearmente independentes.
    • Se \det(A)=0 então as colunas são linearmente dependentes.
  • Fórmula do determinante para matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = ad-bc,
onde a,b,c,d são os elementos da matriz (explicando: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal).]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Aqui a=2, b=-1, c=1, d=-2.
  • Portanto, calculamos
\det(A)=2\cdot(-2)-1\cdot(-1).
  • Calcule passo a passo:
    • 2\cdot(-2) = -4.
    • 1\cdot(-1) = -1.
    • Subtraindo: -4 - (-1) = -4 + 1 = -3.
Logo
\det(A) = -3.

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Como \det(A) = -3 \neq 0, concluímos que as colunas da matriz A (isto é, os vetores (2,1) e (-1,-2)) são linearmente independentes.
  • Pelo passo 2, em \mathbb{R}^{2} dois vetores linearmente independentes formam uma base. Portanto o conjunto dado gera \mathbb{R}^{2} e é uma base.
Comentário intuitivo breve (ajuda para a prova): o determinante diferente de zero significa geometricamente que os dois vetores não são colineares — eles não estão sobre a mesma reta passando pela origem — então conseguem “cobrir” o plano.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para fixar o conceito): resolver a equação de combinação linear nula.
  • Resolver
c_{1}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Isso dá o sistema linear
\begin{cases} 2c_{1}-c_{2}=0,\\[4pt] c_{1}-2c_{2}=0. \end{cases}
  • Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da primeira (ou resolvendo por eliminação) permite ver que a única solução é c_{1}=0, c_{2}=0. (Esse cálculo é consistente com o fato de \det(A)\neq0.)]

Resposta

Sim. \{(2,1),(-1,-2)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.

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