- Verifique se
é uma base para
.
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto formado por dois vetores em
:
O que se pede: verificar se o conjunto
é uma base para
.
Informações relevantes dadas:
- Há exatamente dois vetores no conjunto.
- Cada vetor é um par ordenado de números reais (coordenas em
).
Passo 2
O que significa “ser uma base” (explicação didática):
- Um conjunto de vetores é base de
se e somente se dois requisitos forem satisfeitos: - Os vetores são linearmente independentes.
- Os vetores geram (espalham, formam o span de) todo
.
Explicação simplificada e útil para a prova:
- Em
, qualquer conjunto com exatamente dois vetores que sejam linearmente independentes já gera . Ou seja, para dois vetores em basta checar a independência linear; se forem independentes, automaticamente formam uma base. - “Linearmente independentes” quer dizer que a única solução da equação
é
e
.
Passo 3
Método prático para testar independência em
(a ferramenta que se usa frequentemente na prova):
- Formar a matriz
cujas colunas são os vetores dados:
- Calcular o determinante de
. A propriedade importante é: - Se
então as colunas de são linearmente independentes. - Se
então as colunas são linearmente dependentes.
- Se
- Fórmula do determinante para matriz
:
onde
são os elementos da matriz (explicando: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal).]
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Aqui
, , , . - Portanto, calculamos
- Calcule passo a passo:
-
. -
. - Subtraindo:
.
-
Logo
Passo 5
Interpretação do resultado:
- Como
, concluímos que as colunas da matriz (isto é, os vetores e ) são linearmente independentes. - Pelo passo 2, em
dois vetores linearmente independentes formam uma base. Portanto o conjunto dado gera e é uma base.
Comentário intuitivo breve (ajuda para a prova): o determinante diferente de zero significa geometricamente que os dois vetores não são colineares — eles não estão sobre a mesma reta passando pela origem — então conseguem “cobrir” o plano.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para fixar o conceito): resolver a equação de combinação linear nula.
- Resolver
- Isso dá o sistema linear
- Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da primeira (ou resolvendo por eliminação) permite ver que a única solução é
, . (Esse cálculo é consistente com o fato de .)]
Resposta
Sim.
é uma base de
.