Defina e dê um exemplo de uma matriz ortogonal de ordem 3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é uma matriz ortogonal.
  • Apresentar um exemplo concreto de uma matriz ortogonal de ordem 3 (ou seja, uma matriz 3\times3).
Informações relevantes implícitas no enunciado:
  • “Ordem 3” significa que a matriz tem dimensão 3\times3.
  • A resposta deve conter a definição e um exemplo verificado passo a passo.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples).
Uma matriz quadrada Q de ordem 3 é ortogonal se ela satisfaz
Q^{T}Q = I,
onde Q^{T} é a transposta de Q (linhas viram colunas) e I é a matriz identidade 3\times3.
Interpretando: multiplicar Q pela sua transposta dá a identidade, o que significa que Q^{T} é a inversa de Q. Em outra forma equivalente:
Q^{-1} = Q^{T}.
O que isso implica, de maneira intuitiva:
  • As colunas de Q são vetores de \mathbb{R}^{3} que são mutuamente ortogonais (produto escalar zero) e cada uma tem norma 1. Ou seja, as colunas formam uma base ortonormal.
  • O determinante de Q vale \pm 1. Se \det Q = 1 é uma rotação propriamente dita; se \det Q = -1 é uma reflexão composta com possivelmente rotação.

Passo 3

Como verificar na prática (passo a passo rápido para a prova). Duas maneiras fáceis:
  1. Calcular Q^{T}Q e conferir que dá a identidade I.
  2. Verificar que cada coluna tem norma 1 e o produto escalar entre colunas diferentes é 0.
Esses testes são equivalentes e normalmente rápidos de fazer num exercício.

Passo 4

Escolho um exemplo simples e didático: rotação de 90^\circ no plano xy (em torno do eixo z). A matriz correspondente é
Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora vou verificar que Q é ortogonal usando Q^{T}Q.]

Passo 5

Cálculo de Q^{T} e de Q^{T}Q. Primeiro a transposta:
Q^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora multiplico Q^{T}Q. Faço entrada por entrada (produto linha por coluna):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1.
  • Elemento (linha 1, coluna 2):
0\cdot (-1) + 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0.
  • Elemento (linha 1, coluna 3):
0\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Elemento (linha 2, coluna 1):
(-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 0.
  • Elemento (linha 2, coluna 2):
(-1)\cdot (-1) + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1.
  • Elemento (linha 2, coluna 3):
(-1)\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Elemento (linha 3, coluna 1):
0\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0.
  • Elemento (linha 3, coluna 2):
0\cdot (-1) + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
  • Elemento (linha 3, coluna 3):
0\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
Juntando tudo,
Q^{T}Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I.
Como Q^{T}Q=I, concluímos que Q é ortogonal.]

Passo 6

Verificação alternativa (colunas ortonormais) e nota sobre determinante.
As colunas de Q são
v_{1}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Checo produtos escalares:
v_{1}\cdot v_{2}=0,\quad v_{1}\cdot v_{3}=0,\quad v_{2}\cdot v_{3}=0.
Normas:
\|v_{1}\|=1,\quad \|v_{2}\|=1,\quad \|v_{3}\|=1.
Portanto as colunas são ortonormais, confirmando que Q é ortogonal.
Quanto ao determinante, para curiosidade rápida:
\det Q = 1,
o que corresponde a uma rotação (ou seja, uma transformação ortogonal de orientação preservada).]

Resposta

Definição: Uma matriz 3\times3 Q é ortogonal se satisfaz Q^{T}Q=I (equivalente a Q^{-1}=Q^{T}); geometricamente, suas colunas formam uma base ortonormal e \det Q=\pm 1.
Exemplo:
Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que satisfaz Q^{T}Q=I e portanto é ortogonal.]

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