Defina e dê um exemplo de uma matriz ortogonal de ordem 3.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Definir o que é uma matriz ortogonal.
Apresentar um exemplo concreto de uma matriz ortogonal de ordem 3 (ou seja, uma matriz 3\times3).
Informações relevantes implícitas no enunciado:
“Ordem 3” significa que a matriz tem dimensão 3\times3.
A resposta deve conter a definição e um exemplo verificado passo a passo.
Passo 2
Definição (explicada de forma simples).
Uma matriz quadrada Q de ordem 3 é ortogonal se ela satisfaz
Q^{T}Q = I,
onde Q^{T} é a transposta de Q (linhas viram colunas) e I é a matriz identidade 3\times3.
Interpretando: multiplicar Q pela sua transposta dá a identidade, o que significa que Q^{T} é a inversa de Q. Em outra forma equivalente:
Q^{-1} = Q^{T}.
O que isso implica, de maneira intuitiva:
As colunas de Q são vetores de \mathbb{R}^{3} que são mutuamente ortogonais (produto escalar zero) e cada uma tem norma 1. Ou seja, as colunas formam uma base ortonormal.
O determinante de Q vale \pm 1. Se \det Q = 1 é uma rotação propriamente dita; se \det Q = -1 é uma reflexão composta com possivelmente rotação.
Passo 3
Como verificar na prática (passo a passo rápido para a prova). Duas maneiras fáceis:
Calcular Q^{T}Q e conferir que dá a identidade I.
Verificar que cada coluna tem norma 1 e o produto escalar entre colunas diferentes é 0.
Esses testes são equivalentes e normalmente rápidos de fazer num exercício.
Passo 4
Escolho um exemplo simples e didático: rotação de 90^\circ no plano xy (em torno do eixo z). A matriz correspondente é
Portanto as colunas são ortonormais, confirmando que Q é ortogonal.
Quanto ao determinante, para curiosidade rápida:
\det Q = 1,
o que corresponde a uma rotação (ou seja, uma transformação ortogonal de orientação preservada).]
Resposta
Definição: Uma matriz 3\times3Q é ortogonal se satisfaz Q^{T}Q=I (equivalente a Q^{-1}=Q^{T}); geometricamente, suas colunas formam uma base ortonormal e \det Q=\pm 1.
Exemplo: