Seja
. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para encontrar
(potência inteira positiva
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são . - Quer-se uma expressão fechada para
em função de .]
Passo 2
Vamos calcular as primeiras potências para tentar observar um padrão. Primeiro multiplico
por si mesma:
Agora
:
Observando
vemos o padrão na entrada superior direita:
, ou seja, parece ser
para
. Isso sugere
Passo 3
Agora justificamos esse padrão de forma geral usando uma decomposição útil. Defina a matriz
Note que
. Calcule
:
Portanto
é nilpotente de ordem
:
. Em particular,
para todo
.]
Passo 4
Aplicamos a fórmula do binômio a matrizes para
. A expansão válida aqui é
que é legítima porque
comuta com qualquer matriz (em particular com
). Como
para todo
, na soma só ficam os termos com
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Para reforçar a validade do resultado, apresento uma prova por indução (método alternativo e direto):
- Base: para
vale . - Passo indutivo: suponha
. Então
o que completa a indução. Assim a fórmula é correta para todo inteiro
.]