Seja \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]. Encontre A^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar A^{n} (potência inteira positiva n).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de A são \,a_{11}=1,\;a_{12}=2,\;a_{21}=0,\;a_{22}=1.
  • Quer-se uma expressão fechada para A^{n} em função de n.]

Passo 2

Vamos calcular as primeiras potências para tentar observar um padrão. Primeiro multiplico A por si mesma:
A^2=A\cdot A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot2+2\cdot1\\[4pt] 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Agora A^3=A^2\cdot A:
A^3= \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Observando A,A^2,A^3 vemos o padrão na entrada superior direita: 2,4,6, ou seja, parece ser 2n para A^n. Isso sugere
A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 2n\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora justificamos esse padrão de forma geral usando uma decomposição útil. Defina a matriz
N=A-I=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Note que A=I+N. Calcule N^2:
N^2=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto N é nilpotente de ordem 2: N^2=0. Em particular, N^k=0 para todo k\ge2.]

Passo 4

Aplicamos a fórmula do binômio a matrizes para (I+N)^n. A expansão válida aqui é
(I+N)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}N^{k},
que é legítima porque I comuta com qualquer matriz (em particular com N). Como N^k=0 para todo k\ge2, na soma só ficam os termos com k=0 e k=1:
(I+N)^n=\binom{n}{0}N^0+\binom{n}{1}N=\;I+nN.
Substituindo N=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} obtemos
A^{n}=(I+N)^n=I+nN = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} +n\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2n\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para reforçar a validade do resultado, apresento uma prova por indução (método alternativo e direto):
  • Base: para n=1 vale A^1=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Passo indutivo: suponha A^{k}=\begin{pmatrix}1 & 2k\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}. Então
A^{k+1}=A^{k}A= \begin{pmatrix}1 & 2k\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2k+2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2(k+1)\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
o que completa a indução. Assim a fórmula é correta para todo inteiro n\ge1.]

Resposta

A^{n}=\begin{pmatrix}1 & 2n\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}]

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