Defina f: I R I R por f(lambda)=det(A-lambda I).
vii) Existe um vetor de probabilidade pi in R^2 tal que A pi=pi ?

Passo 1

Beleza, o enunciado está perguntando se existe um vetor de probabilidade
A,pi=pi (ou seja, e ) tal que
Isso é o mesmo que dizer que é um autovetor de associado ao autovalor .
Conteúdo da matéria: autovalores e autovetores de matrizes 2×2, sistema linear, normalização.
Vamos precisar:
  1. Verificar que é raiz do polinômio característico .
  2. Resolver .
  3. Exigir e .

Passo 2

Primeiro, confirmar que f(1)=det(A-I)=0 é autovalor. Isso significa checar
Se , o único vetor que satisfaz é o trivial , e aí não dá pra ter vetor de probabilidade. Se , partimos pra achar o autovetor.

Passo 3

Supondo que (A-I),pi1 pi2 = a11-1 & a12[6pt] a21 & a22-1 pi1 pi2 = 00 , escrevemos o sistema
[
(A-I), (a11-1),pi1 + a12,pi2=0 Longrightarrow a12,pi2 = (1-a11),pi1 ;Longrightarrow; pi2 = 1-a11a12;pi1


.
]
Isso dá duas equações, mas elas são proporcionais (porque ), então basta usar uma delas, por exemplo:

Passo 4

Agora imponho a condição de vetor de probabilidade:
pi1+pi2=1, pi1>=0,;pi2>=0
Substituindo pi1 + 1-a11a12,pi1 = 1 Longrightarrow pi1l(1 + tfrac1-a11a12r)=1 Longrightarrow pi1 = 1,1 + 1-a11a12, = a12,a12 + (1-a11), :
pi2 = 1-pi1 = ,1-a11,,a12 + (1-a11),
E daí
É só conferir que ambos são ≥0 (isso exige e ).

Resposta

Sim. Sempre que boxed pi = a12,a12 + (1-a11),[8pt] ,1-a11,,a12 + (1-a11), e os coeficientes derem , existe o vetor de probabilidade
[
\boxed{
\pi


}
]
que satisfaz e .

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