Defina por .
vii) Existe um vetor de probabilidade tal que ?
Passo 1
Beleza, o enunciado está perguntando se existe um vetor de probabilidade (ou seja, e ) tal que
Isso é o mesmo que dizer que é um autovetor de associado ao autovalor .
Conteúdo da matéria: autovalores e autovetores de matrizes 2×2, sistema linear, normalização.
Vamos precisar:
Verificar que é raiz do polinômio característico .
Resolver .
Exigir e .
Passo 2
Primeiro, confirmar que é autovalor. Isso significa checar
Se , o único vetor que satisfaz é o trivial , e aí não dá pra ter vetor de probabilidade. Se , partimos pra achar o autovetor.
Passo 3
Supondo que , escrevemos o sistema
[
(A-I),
.
]
Isso dá duas equações, mas elas são proporcionais (porque ), então basta usar uma delas, por exemplo:
Passo 4
Agora imponho a condição de vetor de probabilidade:
Substituindo :
E daí
É só conferir que ambos são ≥0 (isso exige e ).
Resposta
Sim. Sempre que e os coeficientes derem , existe o vetor de probabilidade
[
\boxed{
\pi