Defina
X: Omega S por X(w)=sumi=1^n Yi(wi) ; forall w=(w1, cdots, wn) in Omega ;
onde
(para cada i=1, cdots, n) Yi: B S, Yi(w):=ll1, & se w=V 0, & se w=F.
Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto X^-1(B) ?
ii) B=1,2

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um espaço de acontecimentos Ω = {V,F}ⁿ e uma função X que, pra cada vetor w = (w₁,…,wₙ), conta quantas coordenadas são “V”. Cada Yᵢ é só um indicador: vale 1 se wᵢ=V e 0 se wᵢ=F, e X(w)=∑ᵢ Yᵢ(wᵢ). O conteúdo da matéria é pré-imagem de função e soma de variáveis indicadoras (no fundo, combinatória de “quantos vetores têm k vezes V”). Para resolver, vamos:
  1. entender o que é X⁻¹(B),
  2. ver o caso B={1,2},
  3. contar e listar esses vetores.

Passo 2

O que é X⁻¹(B)? Por definição,
X^-1(B)=,winOmega : X(w)in B
No nosso caso, B={1,2}, então a gente quer todos os w∈{V,F}ⁿ tais que X(w)=1 ou X(w)=2. E lembrar:
X(w)=sumi=1^n Yi(wi),
ou seja, o número de entradas iguais a V em w.

Passo 3

Vamos caracterizar esses vetores w:
  • Se X(w)=1, significa que exatamente uma entrada de w é V (tudo o resto é F).
  • Se X(w)=2, significa que exatamente duas entradas de w são V.
    Então
X^-1(1,2)=,winV,F^n : #i:wi=V=1 ou 2
Em palavras, é o conjunto de todos os vetores com exatamente um V ou exatamente dois V’s.

Passo 4

Agora, quantos são esses vetores?
  • Para ter exatamente 1 V, eu escolho qual das n posições recebe V. Há binomn1+binomn2 = n + n(n-1)2 jeitos.
  • Para ter exatamente 2 V’s, eu escolho 2 posições dentre n. Há jeitos.
    Como esses dois casos são disjuntos, o total é

Resposta

O conjunto l|X^-1(1,2)r| =binomn1+binomn2 = n + n(n-1)2 é formado por todos os vetores que têm exatamente um ou exatamente dois símbolos V. Seu número de elementos é

Exercícios relacionados