Defina
onde
(para cada
.
Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto
?
ii)
(para cada
Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto
ii)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um espaço de acontecimentos Ω = {V,F}ⁿ e uma função X que, pra cada vetor w = (w₁,…,wₙ), conta quantas coordenadas são “V”. Cada Yᵢ é só um indicador: vale 1 se wᵢ=V e 0 se wᵢ=F, e X(w)=∑ᵢ Yᵢ(wᵢ). O conteúdo da matéria é pré-imagem de função e soma de variáveis indicadoras (no fundo, combinatória de “quantos vetores têm k vezes V”). Para resolver, vamos:
- entender o que é X⁻¹(B),
- ver o caso B={1,2},
- contar e listar esses vetores.
Passo 2
O que é X⁻¹(B)? Por definição,
No nosso caso, B={1,2}, então a gente quer todos os w∈{V,F}ⁿ tais que X(w)=1 ou X(w)=2. E lembrar:
ou seja, o número de entradas iguais a V em w.
Passo 3
Vamos caracterizar esses vetores w:
- Se X(w)=1, significa que exatamente uma entrada de w é V (tudo o resto é F).
- Se X(w)=2, significa que exatamente duas entradas de w são V.
Então
Em palavras, é o conjunto de todos os vetores com exatamente um V ou exatamente dois V’s.
Passo 4
Agora, quantos são esses vetores?
- Para ter exatamente 1 V, eu escolho qual das n posições recebe V. Há
jeitos. - Para ter exatamente 2 V’s, eu escolho 2 posições dentre n. Há
jeitos.
Como esses dois casos são disjuntos, o total é
Resposta
O conjunto
é formado por todos os vetores
que têm exatamente um ou exatamente dois símbolos V. Seu número de elementos é