Defina
onde
(para cada
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Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto
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i)
(para cada
Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto
i)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ X $ que pega uma tupla $ w = (w_1, \dots, w_n) $ de elementos de $ \Omega $ e retorna a soma de outras funções $ Y_i $ aplicadas a cada $ w_i $. Cada função $ Y_i $ olha para $ w_i $ e retorna 1 se for $ V $ e 0 se for $ F $.
Conteúdo da Matéria: Estamos trabalhando com funções entre conjuntos e a noção de pré-imagem $ X^{-1}(B) $, que é o conjunto de todos os elementos que $ X $ mapeia para algum elemento de $ B $.
O que vamos precisar: Entender como a função $ X $ funciona, como calcular a soma das $ Y_i(w_i) $ e determinar quais tuplas $ w $ resultam em $ X(w) $ pertencendo a $ B = {1} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como a função $ X $ opera. Para uma dada tupla $ w = (w_1, \dots, w_n) $, cada $ Y_i(w_i) $ verifica se $ w_i $ é $ V $ ou $ F $:
- Se $ w_i = V $, então $ Y_i(w_i) = 1 $.
- Se $ w_i = F $, então $ Y_i(w_i) = 0 $.
A função $ X(w) $ soma todos esses $ Y_i(w_i) $, ou seja:
Isso significa que $ X(w) $ conta quantos $ V $ existem na tupla $ w $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ X^{-1}(B) $ onde $ B = {1} $. Isso significa que estamos procurando todas as tuplas $ w $ que, ao serem passadas pela função $ X $, resultam em 1. Ou seja, queremos todas as tuplas $ w $ onde exatamente um dos $ Y_i(w_i) $ é 1 e os outros são 0.
Interpretação: Precisamos encontrar todas as tuplas $ w = (w_1, \dots, w_n) $ que têm exatamente um $ V $ e $ n-1 $ $ F $.
Passo 4
Vamos determinar quantas tais tuplas existem. Para cada posição $ i $ de 1 a $ n $, podemos escolher qual será o $ V $, e o restante será $ F $.
Então, para cada $ i $, temos uma tupla onde apenas o $ w_i = V $ e todos os outros $ w_j = F $ (com $ j \neq i $).
Número de Elementos: Como há $ n $ posições possíveis para o $ V $, existem $ n $ tuplas diferentes que satisfazem essa condição.
Passo 5
Vamos listar quais são essas tuplas. Cada tupla terá um único $ V $ em uma posição específica e $ F $ nas demais. Por exemplo, para $ n = 3 $:
- $ (V, F, F) $
- $ (F, V, F) $
- $ (F, F, V) $
De modo geral, para qualquer $ n $, as tuplas são todas aquelas que têm um único $ V $ em cada uma das $ n $ posições possíveis, com os outros elementos sendo $ F $.
Resposta
O conjunto $ X^{-1}(B) $ contém exatamente $ n $ tuplas, cada uma com um único $ V $ em uma posição diferente e $ F $ nas demais. Ou seja,