Defina
por
.
a. Mostre que
é uma transformação linear quando
.
b. Encontre uma propriedade de transformações lineares que não é válida se
.
c. Por que em alguns livros
é chamada uma função linear?
a. Mostre que
b. Encontre uma propriedade de transformações lineares que não é válida se
c. Por que em alguns livros
Passo 1
O enunciado define a função
por
e pede:
a) mostrar que é transformação linear quando
,
b) encontrar uma propriedade de transformações lineares que falha se ,
c) explicar por que em alguns livros é chamada “função linear”.
O conteúdo envolve o conceito de transformação (ou operador) linear, que exige additividade e homogeneidade.
a) mostrar que
b) encontrar uma propriedade de transformações lineares que falha se
c) explicar por que em alguns livros
O conteúdo envolve o conceito de transformação (ou operador) linear, que exige additividade e homogeneidade.
Passo 2
Para verificar que
é linear quando
, tomamos
- Additividade:
- Homogeneidade:
Como ambas as propriedades valem,
é de fato uma transformação linear (ou seja, um operador linear).
Passo 3
Uma propriedade que toda transformação linear deve satisfazer é
Se
, então
logo não se cumpre
. Portanto, para
essa propriedade falha.
Passo 4
Em cálculo e geometria analítica costuma-se chamar “função linear” qualquer
porque seu gráfico é uma reta (função de primeiro grau). No entanto, em álgebra linear o termo correto para
é função afim ou transformação afim, reservando “linear” para aquelas que passam pela origem (
).
Resposta
a) Quando
,
satisfaz
logo é transformação linear.
b) A condição deixa de valer se
, pois então
.
c) Muitos livros de cálculo chamam de “função linear” qualquer reta (função de 1º grau), embora em álgebra linear “linear” exija
.
b) A condição
c) Muitos livros de cálculo chamam de “função linear” qualquer reta