Defina f: R R por f(x)=m x+b.
a. Mostre que f é uma transformação linear quando b=0.
b. Encontre uma propriedade de transformações lineares que não é válida se b neq 0.
c. Por que em alguns livros f é chamada uma função linear?

Passo 1

O enunciado define a função fcolon RtoR por
f(x)=m,x+b
e pede:
a) mostrar que f é transformação linear quando b=0,
b) encontrar uma propriedade de transformações lineares que falha se bneq0,
c) explicar por que em alguns livros f é chamada “função linear”.
O conteúdo envolve o conceito de transformação (ou operador) linear, que exige additividade e homogeneidade.

Passo 2

Para verificar que f é linear quando b=0, tomamos
f(x)=m,x
  1. Additividade:
f(x+y)=m,(x+y)=m,x+m,y=f(x)+f(y)
  1. Homogeneidade:
f(alpha x)=m,(alpha x)=alpha,(m,x)=alpha,f(x)
Como ambas as propriedades valem, f é de fato uma transformação linear (ou seja, um operador linear).

Passo 3

Uma propriedade que toda transformação linear deve satisfazer é
f(0)=0
Se bneq0, então
f(0)=mcdot 0 + b = b neq 0,
logo não se cumpre f(0)=0. Portanto, para bneq0 essa propriedade falha.

Passo 4

Em cálculo e geometria analítica costuma-se chamar “função linear” qualquer f(x)=m,x+b porque seu gráfico é uma reta (função de primeiro grau). No entanto, em álgebra linear o termo correto para bneq0 é função afim ou transformação afim, reservando “linear” para aquelas que passam pela origem ( b=0).

Resposta

a) Quando b=0, f(x)=m,x satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y) e f(alpha x)=alpha,f(x),
logo é transformação linear.
b) A condição f(0)=0 deixa de valer se bneq0, pois então f(0)=bneq0.
c) Muitos livros de cálculo chamam de “função linear” qualquer reta f(x)=m,x+b (função de 1º grau), embora em álgebra linear “linear” exija b=0.

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