Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. Toda transformação matricial é uma transformação linear.
b. O contradomínio da transformação x mapsto A x é o conjunto de todas as combinações linearés das colunas de A.
c. Se T: R^n R^m for uma transformação linear e c estiver em R^m, então uma pergunta sobre unicidade: “Será que c está na imagem de T ?”
d. Uma transformação linear preserya as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.
e. O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre transformações lineares como Verdadeira ou Falsa e justificar. O conteúdo envolvido é: definição de transformação linear, transformação matricial, domínio, contradomínio e imagem, questões de existência versus unicidade e o princípio de superposição.

Passo 2

Afirmação (a): “Toda transformação matricial é uma transformação linear.”
Uma transformação matricial é da forma
Tcolon R^n to R^m, T(x) = Ax,
e satisfaz para quaisquer u,v e escalar c:
T(u+v) = A(u+v) = Au+Av = T(u)+T(v),
T(c,u) = A(c,u) = c,(Au) = c,T(u)
Logo, toda transformação matricial é linear.
Resposta: Verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “O contradomínio da transformação xmapsto Ax é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A.”
Por definição, o contradomínio (codomain) de TcolonR^ntoR^m é R^m. O conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A é a imagem (ou coluna-espaço) de T, não o contradomínio.
Resposta: Falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se T: R^n R^m for uma transformação linear e c estiver em R^m, então é uma pergunta sobre unicidade: ``Será que c está na ima>=m de T?''áá
Perguntar se c pertence à imagem de T é questão de existência de um x tal que T(x)=c, não de unicidade (que investigaria se esse x é único).
Resposta: Falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Uma transformação linear preserva as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.”
Isto é exatamente a definição de linearidade:
T(u+v) = T(u) + T(v), T(c,u) = c,T(u)
Resposta: Verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear.”
No contexto de sistemas físicos, o princípio de superposição diz que a resposta ao somatório de estímulos é o somatório das respostas individuais, e que escalar o estímulo escala a resposta — justamente as propriedades de uma transformação linear.
Resposta: Verdadeira.

Resposta

a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira

Exercícios relacionados