Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. Toda transformação matricial é uma transformação linear.
b. O contradomínio da transformação
é o conjunto de todas as combinações linearés das colunas de
.
c. Se
for uma transformação linear e
estiver
, então uma pergunta sobre unicidade: “Será que c está na imagem de
?”
d. Uma transformação linear preserya as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.
e. O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear.
a. Toda transformação matricial é uma transformação linear.
b. O contradomínio da transformação
c. Se
d. Uma transformação linear preserya as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.
e. O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cada afirmação sobre transformações lineares como Verdadeira ou Falsa e justificar. O conteúdo envolvido é: definição de transformação linear, transformação matricial, domínio, contradomínio e imagem, questões de existência versus unicidade e o princípio de superposição.
Passo 2
Afirmação (a): “Toda transformação matricial é uma transformação linear.”
Uma transformação matricial é da forma
Uma transformação matricial é da forma
e satisfaz para quaisquer
e escalar
:
Logo, toda transformação matricial é linear.
Resposta: Verdadeira.
Resposta: Verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “O contradomínio da transformação
é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
.”
Por definição, o contradomínio (codomain) de é
. O conjunto de todas as combinações lineares das colunas de
é a imagem (ou coluna-espaço) de
, não o contradomínio.
Resposta: Falsa.
Por definição, o contradomínio (codomain) de
Resposta: Falsa.
Passo 4
Afirmação (c): “Se
for uma transformação linear e
estiver em
, então é uma pergunta sobre unicidade:
”
Perguntar se pertence à imagem de
é questão de existência de um
tal que
, não de unicidade (que investigaria se esse
é único).
Resposta: Falsa.
Perguntar se
Resposta: Falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “Uma transformação linear preserva as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.”
Isto é exatamente a definição de linearidade:
Isto é exatamente a definição de linearidade:
Resposta: Verdadeira.
Passo 6
Afirmação (e): “O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear.”
No contexto de sistemas físicos, o princípio de superposição diz que a resposta ao somatório de estímulos é o somatório das respostas individuais, e que escalar o estímulo escala a resposta — justamente as propriedades de uma transformação linear.
Resposta: Verdadeira.
No contexto de sistemas físicos, o princípio de superposição diz que a resposta ao somatório de estímulos é o somatório das respostas individuais, e que escalar o estímulo escala a resposta — justamente as propriedades de uma transformação linear.
Resposta: Verdadeira.
Resposta
a. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira
b. Falsa
c. Falsa
d. Verdadeira
e. Verdadeira