Seja T: R^n R^m uma transformação linear e seja v1, v2, v3 um conjunto linearmente dependente em R^n. Explique por que o conjunto T(v1), T(v2), T(v3) é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
T:R^ntoR^m
e um conjunto v1, v2, v3subsetR^n que é linearmente dependente.
Conteúdo: definição de dependência linear e propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Por dependência linear existe uma combinação não trivial de escalares
a1,a2,a3, nem todos zero, tal que
a1, v1 + a2, v2 + a3, v3 = 0

Passo 3

Como T é linear, aplicamos T à soma acima:
T(a1, v1 + a2, v2 + a3, v3) = a1,T( v1) + a2,T( v2) + a3,T( v3)
No lado esquerdo temos T(0)=0. Logo
a1,T( v1) + a2,T( v2) + a3,T( v3) = 0,
com pelo menos um aineq0.

Resposta

O conjunto T( v1),,T( v2),,T( v3) é linearmente dependente.

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