Sejam u ev vetores em R^n. Podemos mostrar que o conjunto P de todos os pontos limitados pelo paralelogramo determinado por u e vé da forma a u+b v, com 0 <= a <= 1 e 0 <= b <= 1. Seja T: R^n R^m uma transformação linear. Explique por que a imagem por T de um ponto de P pertence à região limitada pelo paralelogramo determinado por T(u) e T(v).

Passo 1

O enunciado define
P=,a, u+b, vmid0<= a<=1,;0<= b<=1,
que é o paralelogramo gerado por u, vinR^n.
Temos uma transformação linear
T:R^ntoR^m
e queremos ver que, para todo ponto xin P, sua imagem T(x) fica dentro do paralelogramo gerado por T( u) e T( v).

Passo 2

Como T é linear, para qualquer combinação
x=a, u+b, v
com 0<= a<=1 e 0<= b<=1 vale
T(x) =Tl(a, u+b, vr) =a,T( u)+b,T( v)

Passo 3

Mas a,T( u)+b,T( v) com 0<= a,b<=1 é exatamente a descrição do paralelogramo em R^m gerado por T( u) e T( v). Logo cada T(x), xin P, fica nesse paralelogramo.

Resposta

A imagem de todo ponto de P está no paralelogramo definido por T( u) e T( v) porque
T(a, u+b, v) =a,T( u)+b,T( v)
mantém 0<= a,b<=1.

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