Sejam u ev vetores em
. Podemos mostrar que o conjunto
de todos os pontos limitados pelo paralelogramo determinado por u e vé da forma
, com
e
. Seja
uma transformação linear. Explique por que a imagem por
de um ponto de
pertence à região limitada pelo paralelogramo determinado por
e
.
Passo 1
O enunciado define
,
que é o paralelogramo gerado por .
Temos uma transformação linear
e queremos ver que, para todo ponto , sua imagem
fica dentro do paralelogramo gerado por
e
.
que é o paralelogramo gerado por
Temos uma transformação linear
e queremos ver que, para todo ponto
Passo 2
Como
é linear, para qualquer combinação
com e
vale
com
Passo 3
Mas
com
é exatamente a descrição do paralelogramo em
gerado por
e
. Logo cada
,
, fica nesse paralelogramo.
Resposta
A imagem de todo ponto de
está no paralelogramo definido por
e
porque
mantém
.