Questão 21) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios: f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x}, & x \neq 0 \\\\ 2, & x=0\end{array}\right.
O que se pede: analisar a continuidade de f no domínio dela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (porque o caso x=0 foi definido separadamente).
Precisamos verificar continuidade em dois tipos de ponto:
pontos x\neq 0;
o ponto x=0.]
Passo 2
Lembrete prático sobre continuidade em um ponto: uma função g é contínua em a se as três condições equivalentes valem:
\lim_{x\to a} g(x) existe;
g(a) está definido;
\lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Para pontos x\neq 0 podemos usar um critério simples: se g é combinação de funções contínuas (seno, polinômios, razão quando o denominador não é zero), então g é contínua nesses pontos. Aqui, para x\neq 0 temos f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}, que é quociente de duas funções contínuas (x\mapsto\operatorname{sen}(2x) e x\mapsto x) com denominador diferente de zero. Conclusão imediata:
Para todo a\neq 0, f é contínua em a.
Passo 3
Resta verificar a continuidade em x=0. Pelo critério acima precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x} e comparar com f(0)=2.
Uma técnica útil: fatorar para reconhecer um limite padrão. Observe que
Se soubermos \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1, basta aplicar com u=2x para concluir que o limite acima vale 2. Vamos justificar por que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Passo 4
Prova (sucinta) do limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 usando desigualdades (teorema do sanduíche / squeeze):
Para u com 0<|u|<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica (derivada de argumentos geométricos):
\cos u \le \frac{\operatorname{sen}u}{u} \le 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u =1 e o lado direito é 1, pelo teorema do sanduíche segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.
(Para u negativo, a razão é par em módulo e a mesma conclusão vale; portanto o limite bidirecional existe e é 1.)