Questão 21) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x}, & x \neq 0 \\\\ 2, & x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}, & x\neq 0,\\[6pt] 2, & x=0. \end{cases}
O que se pede: analisar a continuidade de f no domínio dela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (porque o caso x=0 foi definido separadamente).
  • Precisamos verificar continuidade em dois tipos de ponto:
    • pontos x\neq 0;
    • o ponto x=0.]

Passo 2

Lembrete prático sobre continuidade em um ponto: uma função g é contínua em a se as três condições equivalentes valem:
  1. \lim_{x\to a} g(x) existe;
  2. g(a) está definido;
  3. \lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Para pontos x\neq 0 podemos usar um critério simples: se g é combinação de funções contínuas (seno, polinômios, razão quando o denominador não é zero), então g é contínua nesses pontos. Aqui, para x\neq 0 temos f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}, que é quociente de duas funções contínuas ( x\mapsto\operatorname{sen}(2x) e x\mapsto x) com denominador diferente de zero. Conclusão imediata:
Para todo a\neq 0, f é contínua em a.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em x=0. Pelo critério acima precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x} e comparar com f(0)=2.
Uma técnica útil: fatorar para reconhecer um limite padrão. Observe que
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}.
Então
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} =2\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}.
Se soubermos \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1, basta aplicar com u=2x para concluir que o limite acima vale 2. Vamos justificar por que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 4

Prova (sucinta) do limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 usando desigualdades (teorema do sanduíche / squeeze):
Para u com 0<|u|<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica (derivada de argumentos geométricos):
\cos u \le \frac{\operatorname{sen}u}{u} \le 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u =1 e o lado direito é 1, pelo teorema do sanduíche segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.
(Para u negativo, a razão é par em módulo e a mesma conclusão vale; portanto o limite bidirecional existe e é 1.)

Passo 5

Aplicando o resultado com u=2x obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1.
Portanto, pela fatoração do Passo 3,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=2\cdot 1 = 2.

Passo 6

Como \lim_{x\to 0}f(x)=2 e f(0)=2, temos \lim_{x\to 0}f(x)=f(0). Logo f é contínua em 0.
Juntando com o que dissemos para x\neq 0, concluímos que f é contínua em todo o domínio.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}.

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