Encontre os pontos onde f é descontínua e dê razões para esta descontinuidade:
f(x)=\frac{x^{2}+9}{|x|+3}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os pontos onde f é descontínua e dê razões para esta descontinuidade.”
A função dada é
f(x)=\frac{x^{2}+9}{|x|+3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do numerador é x^{2}+9.
  • A expressão do denominador é |x|+3.
  • Não há imagem ou tabela; apenas a fórmula da função.

Passo 2

Vamos analisar primeiro o domínio de f. Uma função racional com denominador contém pontos onde o denominador é zero, esses pontos são candidatos a descontinuidade. Então verifico quando |x|+3=0.
Calculo:
|x|+3=0 \iff |x|=-3.
Mas |x|\ge0 para todo x, portanto |x|=-3 não tem solução real. Logo o denominador nunca é zero e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim o domínio é
\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Agora uso propriedades de continuidade que são muito úteis na prova:
  • Qualquer polinômio é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. Logo x^{2}+9 é contínuo em \mathbb{R}.
  • A função valor absoluto x\mapsto|x| é contínua em \mathbb{R} (pode-se ver pela definição de limite ou porque é dada por duas funções polinomiais que coincidem nos pontos de junção). Então |x|+3 também é contínua em \mathbb{R}.
  • Se g e h são contínuas em um ponto a e h(a)\neq0, então a quociente g/h é contínua em a.
Aplicando isso aqui: numerador e denominador são contínuos em todo \mathbb{R}, e o denominador nunca é zero. Portanto a função f é a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua em todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como verificação prática e para “mastigar” a ideia (útil na prova), podemos escrever f em forma peça a peça e checar a transição em x=0, que é o ponto onde |x| muda de expressão:
  • Para x\ge0 temos |x|=x, logo
f(x)=\frac{x^{2}+9}{x+3}\quad(x\ge0).
  • Para x<0 temos |x|=-x, logo
f(x)=\frac{x^{2}+9}{-x+3}=\frac{x^{2}+9}{3-x}\quad(x<0).
Ambas as expressões são combinações de polinômios e razões com denominadores diferentes de zero nas respectivas regiões, logo são contínuas em seus intervalos. Faltaria só checar a continuidade em x=0: calcular o valor e os limites laterais.
f(0)=\frac{0^{2}+9}{|0|+3}=\frac{9}{3}=3.
Limite pela direita ( x\to0^+) usando \frac{x^{2}+9}{x+3}:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{2}+9}{x+3}=\frac{9}{3}=3.
Limite pela esquerda ( x\to0^-) usando \frac{x^{2}+9}{3-x}:
\lim_{x\to0^{-}}\frac{x^{2}+9}{3-x}=\frac{9}{3}=3.
Como os limites laterais existem e coincidem com f(0), f é contínua em 0 também. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 5

Conclusão final da análise: não existe ponto onde f seja descontínua, pois está definida em todo \mathbb{R} e é razão de funções contínuas com denominador sempre diferente de zero.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}. Não há pontos de descontinuidade.

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