Encontre os pontos onde
é descontínua e dê razões para esta descontinuidade:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os pontos onde
é descontínua e dê razões para esta descontinuidade.”
A função dada é
A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Não há imagem ou tabela; apenas a fórmula da função.
Passo 2
Vamos analisar primeiro o domínio de
. Uma função racional com denominador contém pontos onde o denominador é zero, esses pontos são candidatos a descontinuidade. Então verifico quando
.
Calculo:
Mas
para todo
, portanto
não tem solução real. Logo o denominador nunca é zero e a função está definida para todo
. Assim o domínio é
Passo 3
Agora uso propriedades de continuidade que são muito úteis na prova:
- Qualquer polinômio é contínuo para todo
. Logo é contínuo em . - A função valor absoluto
é contínua em (pode-se ver pela definição de limite ou porque é dada por duas funções polinomiais que coincidem nos pontos de junção). Então também é contínua em . - Se
e são contínuas em um ponto e , então a quociente é contínua em .
Aplicando isso aqui: numerador e denominador são contínuos em todo
, e o denominador nunca é zero. Portanto a função
é a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua em todo
.
Passo 4
Como verificação prática e para “mastigar” a ideia (útil na prova), podemos escrever
em forma peça a peça e checar a transição em
, que é o ponto onde
muda de expressão:
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
Ambas as expressões são combinações de polinômios e razões com denominadores diferentes de zero nas respectivas regiões, logo são contínuas em seus intervalos. Faltaria só checar a continuidade em
: calcular o valor e os limites laterais.
Limite pela direita (
) usando
:
Limite pela esquerda (
) usando
:
Como os limites laterais existem e coincidem com
,
é contínua em
também. Isso confirma a conclusão do passo anterior.
Passo 5
Conclusão final da análise: não existe ponto onde
seja descontínua, pois está definida em todo
e é razão de funções contínuas com denominador sempre diferente de zero.
Resposta
A função
é contínua em todo
. Não há pontos de descontinuidade.