Defina
para todo
. O valor de
que torna a função
contínua sobre todo
é:
(a)
(b) ( ) qualquer número real
© () 2
(d) ( ) -1
(e) ( ) não existe tal valor
(a)
(b) ( ) qualquer número real
© () 2
(d) ( ) -1
(e) ( ) não existe tal valor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para definir o valor de $ f(0,0) $ que faz a função $ f(x, y) = \frac{2x^{2} - y}{x^{2} + y^{2}} $ ser contínua em todo o plano
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em várias variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual a $ f(a, b) $. No nosso caso, queremos que $ f $ seja contínua em
, então precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite. Para funções de duas variáveis, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
. Se obtermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo $ y = 0 $:
Então, ao aproximar-se de
pelo eixo $ y = 0 $, o limite é 2.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo $ x = 0 $:
À medida que $ y $ se aproxima de 0, $ -\frac{1}{y} $ tende para $ -\infty $ ou $ +\infty $, dependendo de como $ y $ se aproxima. Isso significa que o limite não é um número definido ao longo desse caminho.
Passo 6
Como vimos, o limite ao longo de $ y = 0 $ é 2, mas ao longo de $ x = 0 $ o limite não existe (vai para infinito). Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, podemos concluir que:
não existe.
Resposta
(e) não existe tal valor