Defina f(x, y)=2 x^2-yx^2+y^2 para todo (x, y) neq(0,0). O valor de f(0,0) que torna a função f contínua sobre todo R^2 é:
(a) ( 0
(b) ( ) qualquer número real
© () 2
(d) ( ) -1
(e) ( ) não existe tal valor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para definir o valor de $ f(0,0) $ que faz a função $ f(x, y) = \frac{2x^{2} - y}{x^{2} + y^{2}} $ ser contínua em todo o plano f(0,0) . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em várias variáveis e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual a $ f(a, b) $. No nosso caso, queremos que $ f $ seja contínua em (x, y), então precisamos que:
(a, b)

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. Para funções de duas variáveis, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de (0,0). Se obtermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo $ y = 0 $:
y = 0
Então, ao aproximar-se de f(x,0) = 2x^2 - 0x^2 + 0 = 2x^2x^2 = 2 pelo eixo $ y = 0 $, o limite é 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo $ x = 0 $:
x = 0
À medida que $ y $ se aproxima de 0, $ -\frac{1}{y} $ tende para $ -\infty $ ou $ +\infty $, dependendo de como $ y $ se aproxima. Isso significa que o limite não é um número definido ao longo desse caminho.

Passo 6

Como vimos, o limite ao longo de $ y = 0 $ é 2, mas ao longo de $ x = 0 $ o limite não existe (vai para infinito). Como os limites ao longo de caminhos diferentes não coincidem, podemos concluir que:
y = 0
não existe.

Resposta

(e) não existe tal valor

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