Seja f(x, y) uma função diferenciável, x(s, t)=t sen(s) e y(s, t)=s-t^2. Defina a função composta F(s, t)=f(x(s, t), y(s, t)). Sabendo que fx(0,2)=-2, fy(0,2)=1, fx(0,-4)=3 e fy(0,-4)=2, determine partial Fpartial s(0,2).
(a) () 8
(b) ( 3
© ()-3
(d) () -8
(e) ( ) impossível determinar

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função $ f(x, y) $ diferenciável e duas funções $ x(s, t) $ e $ y(s, t) $ que dependem das variáveis $ s $ e $ t $. Queremos encontrar a derivada parcial de $ F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) $ em relação a $ s $ no ponto f(x, y) . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a Regra da Cadeia funciona nesse contexto. Quando temos uma função composta como $ F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) $, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ s $ é dada por:
F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ s $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivadas de $ x(s, t) $ e $ y(s, t) $ em relação a $ s $:
    x(s, t)
    y(s, t)
  2. Valores das derivadas de $ f $ em pontos específicos:
    Sabemos que:
    • Em $ (0, 2) $: $ f_x(0, 2) = -2 $ e $ f_y(0, 2) = 1 $
    • Em $ (0, -4) $: $ f_x(0, -4) = 3 $ e $ f_y(0, -4) = 2 $
  3. Encontrando os valores de $ x $ e $ y $ no ponto $ (0, 2) $:
    s
    x(s, t) = t cdot sin(s) Rightarrow partial xpartial s = t cdot cos(s)
    Portanto, estamos interessados nos valores de $ f_x $ e $ f_y $ em $ (0, -4) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial F}{\partial s} $ no ponto $ (0, 2) $:
partial Fpartial s
Substituindo os valores:
(0, 2)
partial Fpartial s = fx(0, -4) cdot partial xpartial s(0, 2) + fy(0, -4) cdot partial ypartial s(0, 2)
Portanto:
fx(0, -4) = 3, partial xpartial s(0, 2) = 2 cdot cos(0) = 2 cdot 1 = 2

Resposta

A derivada parcial $ \frac{\partial F}{\partial s}(0, 2) $ é 8.
Resposta correta: (a) 8

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