Seja
uma função diferenciável,
e
. Defina a função composta
. Sabendo que
,
e
, determine
.
(a)
(b)
©
(d) ()
(e) ( ) impossível determinar
(a)
(b)
©
(d) ()
(e) ( ) impossível determinar
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função $ f(x, y) $ diferenciável e duas funções $ x(s, t) $ e $ y(s, t) $ que dependem das variáveis $ s $ e $ t $. Queremos encontrar a derivada parcial de $ F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) $ em relação a $ s $ no ponto
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a Regra da Cadeia funciona nesse contexto. Quando temos uma função composta como $ F(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) $, a derivada parcial de $ F $ em relação a $ s $ é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ s $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
-
Derivadas de $ x(s, t) $ e $ y(s, t) $ em relação a $ s $:
-
Valores das derivadas de $ f $ em pontos específicos:Sabemos que:
- Em $ (0, 2) $: $ f_x(0, 2) = -2 $ e $ f_y(0, 2) = 1 $
- Em $ (0, -4) $: $ f_x(0, -4) = 3 $ e $ f_y(0, -4) = 2 $
-
Encontrando os valores de $ x $ e $ y $ no ponto $ (0, 2) $:Portanto, estamos interessados nos valores de $ f_x $ e $ f_y $ em $ (0, -4) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial F}{\partial s} $ no ponto $ (0, 2) $:
Substituindo os valores:
Portanto:
Resposta
A derivada parcial $ \frac{\partial F}{\partial s}(0, 2) $ é 8.
Resposta correta: (a) 8