Encontre os máximos e mínimos absolutos de f(x, y)=2 x^2+12 y^2-3 y-x y, definida sobre o retângulo D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos absolutos da função $ f(x, y) = 2x^{2} + \frac{1}{2}y^{2} - 3y - xy $ dentro do retângulo $ \mathcal{D} = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 5} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de extremos de funções em regiões fechadas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região $ \mathcal{D} $. Isso envolve calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
D
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
f
Igualando as derivadas a zero:
x
y

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $:
Da primeira equação:
x
Substituindo na segunda equação:
y
y = 4x
4x - 3 - x = 0
3x - 3 = 0
Então, $ y = 4(1) = 4 $. Portanto, o ponto crítico é $ (1, 4) $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ f $ nos pontos críticos e nas bordas do retângulo $ \mathcal{D} $.
Primeiro, no ponto crítico $ (1, 4) $:
f
Em seguida, vamos verificar os cantos do retângulo:
  1. $ (0, 0) $:
D
  1. $ (0, 5) $:
(1, 4)
  1. $ (2, 0) $:
f(1, 4) = 2(1)^2 + 12(4)^2 - 3(4) - (1)(4) = 2 + 8 - 12 - 4 = -6
  1. $ (2, 5) $:
(0, 0)

Passo 5

Agora, comparamos todos os valores obtidos:
  • $ f(1, 4) = -6 $
  • $ f(0, 0) = 0 $
  • $ f(0, 5) = -2.5 $
  • $ f(2, 0) = 8 $
  • $ f(2, 5) = -4.5 $

Resposta

Então, o máximo absoluto da função $ f $ é 8, atingido em $ (2, 0) $, e o mínimo absoluto é -6, atingido em $ (1, 4) $.

Exercícios relacionados