Encontre os máximos e mínimos absolutos de
, definida sobre o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos absolutos da função $ f(x, y) = 2x^{2} + \frac{1}{2}y^{2} - 3y - xy $ dentro do retângulo $ \mathcal{D} = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 5} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente análise de extremos de funções em regiões fechadas e limitadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região $ \mathcal{D} $. Isso envolve calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Igualando as derivadas a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, $ y = 4(1) = 4 $. Portanto, o ponto crítico é $ (1, 4) $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ f $ nos pontos críticos e nas bordas do retângulo $ \mathcal{D} $.
Primeiro, no ponto crítico $ (1, 4) $:
Em seguida, vamos verificar os cantos do retângulo:
- $ (0, 0) $:
- $ (0, 5) $:
- $ (2, 0) $:
- $ (2, 5) $:
Passo 5
Agora, comparamos todos os valores obtidos:
- $ f(1, 4) = -6 $
- $ f(0, 0) = 0 $
- $ f(0, 5) = -2.5 $
- $ f(2, 0) = 8 $
- $ f(2, 5) = -4.5 $
Resposta
Então, o máximo absoluto da função $ f $ é 8, atingido em $ (2, 0) $, e o mínimo absoluto é -6, atingido em $ (1, 4) $.