(1 pt) Calcular a derivada da seguinte função usando a definição de derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $ usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar essa definição passo a passo na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. A definição de derivada é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando $ h $ se aproxima de zero da diferença entre $ f(x + h) $ e $ f(x) $, dividida por $ h $.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na nossa função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $. Primeiro, precisamos encontrar $ f(x + h) $:
Passo 4
Agora, vamos expandir $ (x + h)^{2} $:
Substituindo na expressão de $ f(x + h) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
Passo 6
Substituímos esse resultado na definição da derivada:
Passo 7
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por $ h $:
Passo 8
Agora, calculamos o limite quando $ h $ se aproxima de zero:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $ é $ f’(x) = -8x $.