(1 pt) Calcular a derivada da seguinte função usando a definição de derivada.
f(x)=1-4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $ usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicar essa definição passo a passo na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. A definição de derivada é dada por:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que vamos calcular o limite quando $ h $ se aproxima de zero da diferença entre $ f(x + h) $ e $ f(x) $, dividida por $ h $.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $. Primeiro, precisamos encontrar $ f(x + h) $:
f(x) = 1 - 4x^2

Passo 4

Agora, vamos expandir $ (x + h)^{2} $:
(x + h)^2
Substituindo na expressão de $ f(x + h) $:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f(x + h) - f(x) $:
f(x + h) - f(x)

Passo 6

Substituímos esse resultado na definição da derivada:
f'(x) = limh to 0 -8xh - 4h^2h

Passo 7

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por $ h $:
h

Passo 8

Agora, calculamos o limite quando $ h $ se aproxima de zero:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 1 - 4x^{2} $ é $ f’(x) = -8x $.

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