Defina de forma recorrente o conjunto Q. Prove que todo número
na sua definição é tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos definir de forma recorrente o conjunto
, que representa os números racionais. Depois, precisamos mostrar que qualquer número
definido dessa maneira pertence a
. Para isso, vamos usar conceitos de definição recorrente e propriedades dos números racionais.
Passo 2
Vamos começar definindo o conjunto
de forma recorrente. A definição recorrente é uma maneira de definir um conjunto especificando como construir seus elementos a partir de elementos já definidos.
Uma definição simples para
poderia ser:
- Base da Recursão: 0 pertence a
. - Passo Recursivo: Se
pertence a , então e também pertencem a . - Fechamento sob Multiplicação: Se
pertence a e , então pertence a . - Fechamento sob Adição e Subtração: Se
, então e pertencem a .
Passo 3
Agora, vamos provar que qualquer número
definido dessa maneira pertence a
. Primeiro, lembramos que números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 4
Consideramos a base da recursão: 0 pode ser escrito como
, o que claramente é uma fração com numerador e denominador inteiros, e
. Portanto,
.
Passo 5
Para o passo recursivo, assumimos que
, ou seja,
com
e
.
-
Se adicionarmos 1 a
, temos: Comoe são inteiros e , . -
Se subtrairmos 1 de
, temos: Novamente,e são inteiros e , então .
Passo 6
Para a multiplicação inversa, se
, então:
Como
e
são inteiros e
,
.
Passo 7
Finalmente, para a adição e subtração de quaisquer dois racionais, se
e
, então:
Como
,
e
são inteiros e
, tanto
quanto
pertencem a
.
Resposta
Portanto, qualquer número
definido de forma recorrente no conjunto
é um número racional, ou seja,
.