Defina de forma recorrente o conjunto Q. Prove que todo número x na sua definição é tal que x in Q.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos definir de forma recorrente o conjunto , que representa os números racionais. Depois, precisamos mostrar que qualquer número definido dessa maneira pertence a . Para isso, vamos usar conceitos de definição recorrente e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Vamos começar definindo o conjunto de forma recorrente. A definição recorrente é uma maneira de definir um conjunto especificando como construir seus elementos a partir de elementos já definidos.
Uma definição simples para poderia ser:
  1. Base da Recursão: 0 pertence a .
  2. Passo Recursivo: Se pertence a , então e também pertencem a .
  3. Fechamento sob Multiplicação: Se pertence a e , então pertence a .
  4. Fechamento sob Adição e Subtração: Se , então e pertencem a .

Passo 3

Agora, vamos provar que qualquer número definido dessa maneira pertence a . Primeiro, lembramos que números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração , onde e são inteiros e .

Passo 4

Consideramos a base da recursão: 0 pode ser escrito como , o que claramente é uma fração com numerador e denominador inteiros, e . Portanto, .

Passo 5

Para o passo recursivo, assumimos que a + 1 = pq + qq = p + qq , ou seja, a - 1 = pq - qq = p - qq com e .
  • Se adicionarmos 1 a , temos:
    Como e são inteiros e , .
  • Se subtrairmos 1 de , temos:
    Novamente, e são inteiros e , então .

Passo 6

Para a multiplicação inversa, se 1a = qp , então:
Como e são inteiros e , .

Passo 7

Finalmente, para a adição e subtração de quaisquer dois racionais, se a + b = ps + rqqs e a - b = ps - rqqs e , então:
Como , e são inteiros e , tanto quanto pertencem a .

Resposta

Portanto, qualquer número definido de forma recorrente no conjunto é um número racional, ou seja, .

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