Questão 4: Utilize completamento de quadrado para encontrar as raízes reais (caso elas existam):
x^2-5 x+6

Passo 1

Na questão temos a expressão quadrática x^2 - 5x + 6 e a missão é usar completamento de quadrado para encontrar as raízes reais. Vamos precisar da ideia de escrever ax^2 + bx + c como um quadrado perfeito mais uma constante.

Passo 2

Começamos isolando o termo quadrático e o linear e prepararmos a soma e subtração do quadrado de metade do coeficiente de x. Metade de -5 é -5/2, e seu quadrado é 25/4. Então fazemos:
x^2 - 5x + 6 = x^2 - 5x + 254 - 254 + 6
Agora o pedaço x^2 - 5x + tfrac254 é um quadrado perfeito.

Passo 3

Reescrevendo o quadrado perfeito e combinando as constantes, temos:
x^2 - 5x + 6 = l(x - tfrac52r)^2 - 254 + 6 = l(x - tfrac52r)^2 - 254 + 244 = l(x - tfrac52r)^2 - 14
Para achar as raízes, igualamos a zero.

Passo 4

Igualando a zero e resolvendo:
l(x - tfrac52r)^2 - tfrac14 = 0 implies l(x - tfrac52r)^2 = tfrac14 implies x - tfrac52 = pm tfrac12
Assim obtemos
x = 52 pm 12 implies x = 3 ou x = 2

Resposta

As raízes reais da expressão são x = 2 e x = 3.

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