Defina de forma recorrente o conjunto Z times Z. Prove que todo par (x, y) na sua definição é tal que x, y in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente definir de forma recorrente o conjunto Z times Z, que é o produto cartesiano dos inteiros consigo mesmos. Além disso, temos que provar que para qualquer par (x, y) nesse conjunto, tanto x quanto y são inteiros, ou seja, x, y in Z. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto cartesiano e como fazer definições recorrentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto cartesiano. O conjunto Z times Z é formado por todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de Z e o segundo também vem de Z. Em outras palavras, é o conjunto de todos os pares (x, y) onde x e y são inteiros.

Passo 3

Agora, vamos definir Z times Z de forma recorrente. Uma definição recorrente envolve construir o conjunto de pares ordenados passo a passo, a partir de elementos básicos.

Passo 4

Primeiro, definimos Z. Os inteiros Z incluem todos os números positivos, negativos e o zero. Então, Z = dots, -2, -1, 0, 1, 2, dots .

Passo 5

Para o produto cartesiano Z times Z, começamos com o primeiro inteiro x in Z. Para cada x, combinamos com todos os inteiros y in Z, formando pares (x, y).

Passo 6

Recursivamente, assumimos que já temos pares até um certo ponto, e então adicionamos novos pares combinando novos inteiros com os já existentes. Isso garante que todos os possíveis pares de inteiros estejam incluídos no conjunto.

Passo 7

Agora, para provar que todo par (x, y) em Z times Z tem x, y in Z, vamos considerar qualquer par o qual.

Passo 8

Pelo modo como definimos Z times Z, cada par (x, y) é formado combinando dois inteiros, um para x e outro para y. Logo, por construção, x e y devem pertencer a Z.

Passo 9

Portanto, não há como ter um par (x, y) em Z times Z onde x ou y não seja um inteiro, já que todos os elementos são formados por inteiros.

Resposta

Assim, provamos que todo par (x, y) definido no conjunto Z times Z satisfaz x, y in Z.

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