Defina de forma recorrente o conjunto
. Prove que todo par
na sua definição é tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente definir de forma recorrente o conjunto
, que é o produto cartesiano dos inteiros consigo mesmos. Além disso, temos que provar que para qualquer par
nesse conjunto, tanto
quanto
são inteiros, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto cartesiano e como fazer definições recorrentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o produto cartesiano. O conjunto
é formado por todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo também vem de
. Em outras palavras, é o conjunto de todos os pares
onde
e
são inteiros.
Passo 3
Agora, vamos definir
de forma recorrente. Uma definição recorrente envolve construir o conjunto de pares ordenados passo a passo, a partir de elementos básicos.
Passo 4
Primeiro, definimos
. Os inteiros
incluem todos os números positivos, negativos e o zero. Então,
.
Passo 5
Para o produto cartesiano
, começamos com o primeiro inteiro
. Para cada
, combinamos com todos os inteiros
, formando pares
.
Passo 6
Recursivamente, assumimos que já temos pares até um certo ponto, e então adicionamos novos pares combinando novos inteiros com os já existentes. Isso garante que todos os possíveis pares de inteiros estejam incluídos no conjunto.
Passo 7
Agora, para provar que todo par
em
tem
, vamos considerar qualquer par o qual.
Passo 8
Pelo modo como definimos
, cada par
é formado combinando dois inteiros, um para
e outro para
. Logo, por construção,
e
devem pertencer a
.
Passo 9
Portanto, não há como ter um par
em
onde
ou
não seja um inteiro, já que todos os elementos são formados por inteiros.
Resposta
Assim, provamos que todo par
definido no conjunto
satisfaz
.