Questão 6: Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^2+x-6|+x

Passo 1

O enunciado nos pede para eliminar o módulo da expressão |x^2 + x - 6| + x, usando estudo de sinais de x^2 + x - 6. Vamos usar a definição de valor absoluto: |A| = A se A >= 0 e |A| = -A se A < 0.

Passo 2

Estudamos o sinal da função interna f(x) = x^2 + x - 6. Primeiro fatoramos:
f(x) = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 3

As raízes são x = -3 e x = 2. Montamos o quadro de sinais de f(x): em x < -3 temos (x+3)<0 e (x-2)<0, logo f(x)>0; em -3 < x < 2 temos (x+3)>0 e (x-2)<0, logo f(x)<0; em x>2 ambos fatores são positivos e f(x)>0. Nos pontos x=-3 e x=2, f(x)=0.

Passo 4

Aplicamos a definição de valor absoluto em cada intervalo. Para x<= -3 e x>= 2, f(x)>=0 e |f(x)|=f(x). Assim:
|f(x)| + x = f(x) + x = x^2 + x - 6 + x = x^2 + 2x - 6

Passo 5

Para -3 <= x <= 2, f(x)<=0 e |f(x)| = -f(x). Assim:
|f(x)| + x = -f(x) + x = -(x^2 + x - 6) + x = -x^2 - x + 6 + x = -x^2 + 6

Resposta

|x^2 + x - 6| + x = x^2 + 2x - 6, & x <= -3 ou x >= 2, -x^2 + 6, & -3 <= x <= 2

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