Mostre que a equação 4^x^2-2(x+1)^2 tem pelo menos uma solução no intervalo (-1,1)

Passo 1

Definimos a função que aparece na equação:
Temos
f(x)=4^x^2-2(x+1)^2
Queremos mostrar que existe solução de f(x)=0 em (-1,1). Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano), então precisamos de continuidade e mudança de sinal.

Passo 2

Observamos que 4^x^2 é uma função exponencial composta com polinômio e 2(x+1)^2 é polinomial. Ambas são contínuas em R, logo f(x) é contínua em todo R e, em particular, em (-1,1).

Passo 3

Calculamos o valor de f em extremos do intervalo:
Para x=-1:
f(-1)=4^(-1)^2-2(-1+1)^2=4^1-2cdot0^2=4>0
Para x=0:
f(0)=4^0^2-2(0+1)^2=1-2=-1<0

Passo 4

Como f(-1)>0 e f(0)<0, e f é contínua em [-1,0]subset(-1,1), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c em (-1,0) tal que f(c)=0.

Resposta

Existe cin(-1,0)subset(-1,1) tal que 4^c^2-2(c+1)^2=0 pelo Teorema do Valor Intermediário.

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