Questão 5: Resolva as inequações:
x-5x^2-7 x+10 <= x-4x^2-5 x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-5x^2-7x+10 <= x-4x^2-5x+4
Isso envolve fatorar denominadores, identificar domínio, simplificar frações e fazer análise de sinal.

Passo 2

Começamos fatorando os denominadores:
x^2-7x+10=(x-5)(x-2), x^2-5x+4=(x-4)(x-1)
Logo o domínio é
xneq5,;2,;4,;1

Passo 3

Para cada fração, cancelamos o fator comum (lembrando que não podemos usar os pontos excluídos do domínio):
Para xneq5:
x-5(x-5)(x-2)=1x-2
Para xneq4:
x-4(x-4)(x-1)=1x-1

Passo 4

Subtraímos o lado direito para ter tudo em uma única fração:
1x-2-1x-1<=0

Passo 5

Colocamos na mesma fração:
(x-1)-(x-2)(x-2)(x-1)<=0 Longrightarrow 1(x-2)(x-1)<=0,
pois (x-1)-(x-2)=1.

Passo 6

Como o numerador é +1>0, a fração é não positiva exatamente quando o denominador é negativo:
(x-2)(x-1)<0

Passo 7

Resolvendo (x-1)(x-2)<0 pelo método dos sinais, vemos que isso ocorre somente para
1
Devemos também excluir os pontos de domínio, mas 1 e 2 já não entram porque a desigualdade é estrita.

Passo 8

Finalizando, a solução da inequação é o intervalo aberto
(1,2)

Resposta

(1,2)

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