Defina de forma recorrente a linguagem no alfabeto Sigma=a, b composta pelas cadeias na forma a^3 n-2 b^n+3 para algum inteiro n >= 1. Prove que toda cadeia na sua definição tem de fato a forma a^3 n-2 b^n+3 para algum inteiro n >= 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um alfabeto Sigma = a, b e queremos definir uma linguagem que consiste em cadeias que seguem o padrão a^3n-2 b^n+3 para algum número inteiro n >= 1. O conteúdo envolvido aqui é Teoria de Linguagens Formais e Definição Recorrente de Linguagens. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir linguagens de forma recorrente e como provar que toda cadeia definida dessa maneira realmente segue o padrão dado.

Passo 2

Vamos começar definindo a linguagem de forma recorrente. Uma definição recorrente geralmente inclui uma regra base e uma regra de produção que nos permite construir todas as cadeias possíveis na linguagem.
Regra Base: Para n = 1, temos a cadeia a^3(1)-2 b^1+3 = a^1 b^4 = abbbb.
Regra de Produção: Suponha que temos uma cadeia para algum n = k, ou seja, a^3k-2 b^k+3. Para obter a cadeia para n = k+1, adicionamos a^3 b à cadeia existente:
a^3(k+1)-2 b^(k+1)+3 = a^3k+3-2 b^k+4 = a^3k+1 b^k+4
Isso significa que, a cada passo, adicionamos três 'a’s e um ‘b’ à cadeia anterior.

Passo 3

Agora, precisamos provar que toda cadeia definida de forma recorrente realmente tem a forma a^3n-2 b^n+3. Vamos usar Indução Matemática para isso.
Base da Indução: Para n = 1, conforme nossa regra base, a cadeia é abbbb, que de fato é a^3(1)-2 b^1+3 = a^1 b^4.
Passo Indutivo: Suponha que para algum n = k, a cadeia seja a^3k-2 b^k+3. Pela regra de produção, para n = k+1, a cadeia será:
a^3k-2 b^k+3 cdot a^3 b = a^3k-2+3 b^k+3+1 = a^3(k+1)-2 b^(k+1)+3
Isso mostra que se a propriedade é verdadeira para n = k, ela também é verdadeira para n = k+1.

Resposta

Portanto, toda cadeia definida de forma recorrente na linguagem Sigma = a, b tem a forma a^3n-2 b^n+3 para algum inteiro n >= 1.

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