Defina de forma recorrente a linguagem no alfabeto
composta pelas cadeias na forma
para algum inteiro
. Prove que toda cadeia na sua definição tem de fato a forma
para algum inteiro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um alfabeto
e queremos definir uma linguagem que consiste em cadeias que seguem o padrão
para algum número inteiro
. O conteúdo envolvido aqui é Teoria de Linguagens Formais e Definição Recorrente de Linguagens. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir linguagens de forma recorrente e como provar que toda cadeia definida dessa maneira realmente segue o padrão dado.
Passo 2
Vamos começar definindo a linguagem de forma recorrente. Uma definição recorrente geralmente inclui uma regra base e uma regra de produção que nos permite construir todas as cadeias possíveis na linguagem.
Regra Base: Para
, temos a cadeia
.
Regra de Produção: Suponha que temos uma cadeia para algum
, ou seja,
. Para obter a cadeia para
, adicionamos
à cadeia existente:
Isso significa que, a cada passo, adicionamos três 'a’s e um ‘b’ à cadeia anterior.
Passo 3
Agora, precisamos provar que toda cadeia definida de forma recorrente realmente tem a forma
. Vamos usar Indução Matemática para isso.
Base da Indução: Para
, conforme nossa regra base, a cadeia é
, que de fato é
.
Passo Indutivo: Suponha que para algum
, a cadeia seja
. Pela regra de produção, para
, a cadeia será:
Isso mostra que se a propriedade é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, toda cadeia definida de forma recorrente na linguagem
tem a forma
para algum inteiro
.