Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
- Função Composta:
 
Passo 1
O enunciado pede que eu dê uma definição formal de “Função Composta”.\n
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): preciso fornecer a definição matemática precisa, indicar as condições necessárias para que a composição exista e mostrar a notação usual. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): preciso fornecer a definição matemática precisa, indicar as condições necessárias para que a composição exista e mostrar a notação usual. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Definição básica e notação. Seja 
  uma função com domínio 
  e contradomínio 
 ; escrevemos isso como
Seja 
  outra função com domínio 
  e contradomínio 
 ; escrevemos
A notação para a função composta de 
  com 
  é 
  (lê-se “g composto com f” ou “g circ f”).
Passo 3
Condição para que a composição exista. Para que 
  esteja bem definida em todos os elementos de 
  precisamos que, para todo 
 , o valor 
  pertença ao domínio de 
 . Em símbolos:
onde 
  e 
 .
Passo 4
Definição formal da função composta (caso mais comum). Quando a condição do passo anterior vale, definimos a composição 
  como uma função de 
  em 
  dada por
e, para todo 
 ,
Isto significa: primeiro aplico 
  a 
 , obtenho 
 ; depois aplico 
  a esse resultado.
Passo 5
Explicando cada parte da fórmula. Na expressão 
 :
- 
é um elemento do domínio de .\n  - 
é um elemento de , ou seja, é um valor admissível para .\n  - 
é o valor final da composição, pertencente ao contradomínio .  
Passo 6
Domínio e contradomínio da composição. Se 
  e 
  com 
 , então
e
A imagem real de 
  é um subconjunto de 
 , geralmente 
 .
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (para treinar e ver na prova). Tome
e
Aqui 
 , logo a composição existe. Calculamos
Desenvolvendo, se for necessário:
Na prova: sempre escreva os dois passos (primeiro 
 , depois aplicar 
 ).
Passo 8
Exemplo de quando NÃO dá para compor diretamente. Seja 
  definida por 
  e 
  definida por 
 . Aqui 
  não está contido em 
 , então 
  não está definido para todos 
 . Dica de prova: sempre verifique 
 !
Passo 9
Propriedades importantes (úteis na prova) e pequenas justificativas:
- Associatividade: para funções 
, , vale  
Justificativa curta: ambos aplicam 
  primeiro, depois 
 , depois 
 ; para todo 
  ambos retornam 
 .\n
- Elemento neutro (função identidade): para 
a identidade definida por satisfaz  
- Inversas: se 
é bijetora e é a sua inversa, então  
Passo 10
Como proceder na prova (passo a passo prático, estilo receita):\n
- Identifique 
e com seus domínios e contradomínios em notação , .\n  - Verifique a condição 
(ou, no caso mais simples, se ).\n  - Calcule 
explicitamente.\n  - Substitua 
na fórmula de para obter .\n  - Simplifique o resultado e indique o domínio final da composição.\n
Respire fundo e faça passo a passo — é só prática. 
Resposta
Sejam 
  e 
 . Se 
  (ou seja, para todo 
  temos 
 ), então a função composta 
  é a aplicação
definida por