Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
  • Função Composta:

Passo 1

O enunciado pede que eu dê uma definição formal de “Função Composta”.\n
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): preciso fornecer a definição matemática precisa, indicar as condições necessárias para que a composição exista e mostrar a notação usual. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Definição básica e notação. Seja f uma função com domínio A e contradomínio B; escrevemos isso como
f: A \to B.
Seja g outra função com domínio D e contradomínio C; escrevemos
g: D \to C.
A notação para a função composta de g com f é g\circ f (lê-se “g composto com f” ou “g circ f”).

Passo 3

Condição para que a composição exista. Para que g\circ f esteja bem definida em todos os elementos de A precisamos que, para todo x\in A, o valor f(x) pertença ao domínio de g. Em símbolos:
\mathrm{Im}(f)\subseteq \mathrm{dom}(g),
onde \mathrm{Im}(f)=\{f(x)\mid x\in A\} e \mathrm{dom}(g)=D.

Passo 4

Definição formal da função composta (caso mais comum). Quando a condição do passo anterior vale, definimos a composição g\circ f como uma função de A em C dada por
g\circ f : A \to C
e, para todo x\in A,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Isto significa: primeiro aplico f a x, obtenho f(x); depois aplico g a esse resultado.

Passo 5

Explicando cada parte da fórmula. Na expressão (g\circ f)(x)=g(f(x)):
  • x é um elemento do domínio A de f.\n
  • f(x) é um elemento de \mathrm{Im}(f)\subseteq D, ou seja, é um valor admissível para g.\n
  • g(f(x)) é o valor final da composição, pertencente ao contradomínio C.

Passo 6

Domínio e contradomínio da composição. Se f:A\to B e g:D\to C com \mathrm{Im}(f)\subseteq D, então
\mathrm{dom}(g\circ f)=A
e
\mathrm{codom}(g\circ f)=C.
A imagem real de g\circ f é um subconjunto de C, geralmente \mathrm{Im}(g\circ f)=g(\mathrm{Im}(f)).

Passo 7

Exemplo numérico passo a passo (para treinar e ver na prova). Tome
f(x)=2x+1,\quad f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
e
g(x)=x^{2},\quad g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Aqui \mathrm{Im}(f)\subseteq\mathbb{R}=\mathrm{dom}(g), logo a composição existe. Calculamos
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(2x+1\bigr)^{2}.
Desenvolvendo, se for necessário:
(g\circ f)(x)=4x^{2}+4x+1.
Na prova: sempre escreva os dois passos (primeiro f(x), depois aplicar g).

Passo 8

Exemplo de quando NÃO dá para compor diretamente. Seja f:\mathbb{R}\to(0,\infty) definida por f(x)=e^{x} e g:(-\infty,0)\to\mathbb{R} definida por g(x)=\ln(-x). Aqui \mathrm{Im}(f)=(0,\infty) não está contido em \mathrm{dom}(g)=(-\infty,0), então g\circ f não está definido para todos x\in\mathbb{R}. Dica de prova: sempre verifique \mathrm{Im}(f)\subseteq\mathrm{dom}(g)!

Passo 9

Propriedades importantes (úteis na prova) e pequenas justificativas:
  • Associatividade: para funções f:A\to B, g:B\to C, h:C\to E vale
h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f.
Justificativa curta: ambos aplicam f primeiro, depois g, depois h; para todo x\in A ambos retornam h(g(f(x))).\n
  • Elemento neutro (função identidade): para A a identidade \mathrm{id}_{A}:A\to A definida por \mathrm{id}_{A}(x)=x satisfaz
\mathrm{id}_{B}\circ f=f\quad\text{e}\quad f\circ \mathrm{id}_{A}=f.
  • Inversas: se f:A\to B é bijetora e f^{-1}:B\to A é a sua inversa, então
f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_{A}\quad\text{e}\quad f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_{B}.

Passo 10

Como proceder na prova (passo a passo prático, estilo receita):\n
  1. Identifique f e g com seus domínios e contradomínios em notação f:A\to B, g:D\to C.\n
  2. Verifique a condição \mathrm{Im}(f)\subseteq\mathrm{dom}(g) (ou, no caso mais simples, se \mathrm{codom}(f)=\mathrm{dom}(g)).\n
  3. Calcule f(x) explicitamente.\n
  4. Substitua f(x) na fórmula de g para obter g(f(x)).\n
  5. Simplifique o resultado e indique o domínio final da composição.\n
    Respire fundo e faça passo a passo — é só prática.

Resposta

Sejam f:A\to B e g:D\to C. Se \mathrm{Im}(f)\subseteq D (ou seja, para todo x\in A temos f(x)\in D), então a função composta g\circ f é a aplicação
g\circ f: A \to C
definida por
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\quad\text{para todo }x\in A.

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