Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
- Função Composta:
Passo 1
O enunciado pede que eu dê uma definição formal de “Função Composta”.\n
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): preciso fornecer a definição matemática precisa, indicar as condições necessárias para que a composição exista e mostrar a notação usual. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): preciso fornecer a definição matemática precisa, indicar as condições necessárias para que a composição exista e mostrar a notação usual. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Definição básica e notação. Seja
uma função com domínio
e contradomínio
; escrevemos isso como
Seja
outra função com domínio
e contradomínio
; escrevemos
A notação para a função composta de
com
é
(lê-se “g composto com f” ou “g circ f”).
Passo 3
Condição para que a composição exista. Para que
esteja bem definida em todos os elementos de
precisamos que, para todo
, o valor
pertença ao domínio de
. Em símbolos:
onde
e
.
Passo 4
Definição formal da função composta (caso mais comum). Quando a condição do passo anterior vale, definimos a composição
como uma função de
em
dada por
e, para todo
,
Isto significa: primeiro aplico
a
, obtenho
; depois aplico
a esse resultado.
Passo 5
Explicando cada parte da fórmula. Na expressão
:
-
é um elemento do domínio de .\n -
é um elemento de , ou seja, é um valor admissível para .\n -
é o valor final da composição, pertencente ao contradomínio .
Passo 6
Domínio e contradomínio da composição. Se
e
com
, então
e
A imagem real de
é um subconjunto de
, geralmente
.
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (para treinar e ver na prova). Tome
e
Aqui
, logo a composição existe. Calculamos
Desenvolvendo, se for necessário:
Na prova: sempre escreva os dois passos (primeiro
, depois aplicar
).
Passo 8
Exemplo de quando NÃO dá para compor diretamente. Seja
definida por
e
definida por
. Aqui
não está contido em
, então
não está definido para todos
. Dica de prova: sempre verifique
!
Passo 9
Propriedades importantes (úteis na prova) e pequenas justificativas:
- Associatividade: para funções
, , vale
Justificativa curta: ambos aplicam
primeiro, depois
, depois
; para todo
ambos retornam
.\n
- Elemento neutro (função identidade): para
a identidade definida por satisfaz
- Inversas: se
é bijetora e é a sua inversa, então
Passo 10
Como proceder na prova (passo a passo prático, estilo receita):\n
- Identifique
e com seus domínios e contradomínios em notação , .\n - Verifique a condição
(ou, no caso mais simples, se ).\n - Calcule
explicitamente.\n - Substitua
na fórmula de para obter .\n - Simplifique o resultado e indique o domínio final da composição.\n
Respire fundo e faça passo a passo — é só prática.
Resposta
Sejam
e
. Se
(ou seja, para todo
temos
), então a função composta
é a aplicação
definida por