Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
  • Máximo de um conjunto:

Passo 1

O enunciado pede uma definição formal de “máximo de um conjunto”. As informações úteis que temos (e que vou assumir porque o enunciado não especificou) são: estamos trabalhando com um conjunto A contido em \mathbb{R} (ou, em geral, em um conjunto parcialmente ordenado), a relação de ordem é \le, e o que se quer é uma frase matemática precisa que explique quando dizemos que um elemento é o máximo de A. Não vou resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que se pede: fornecer a definição formal de máximo.

Passo 2

Vamos lembrar dois conceitos que aparecem sempre nessa definição: elemento do conjunto e relação de ordem. Dizer que x é elemento de A escreve-se \;x\in A\;. Dizer que um número a é menor ou igual a outro b escreve-se \;a\le b\;. Esses símbolos são a base para a definição formal: precisamos combinar a condição de pertencer ao conjunto com a condição de ser maior ou igual a todos os outros elementos.

Passo 3

Agora introduzo o conceito de cota superior (isso ajuda a entender o máximo). Um número u é uma cota superior de A se, para todo a\in A, vale \;a\le u\;. Em símbolos:
u\text{ é cota superior de }A \quad\Longleftrightarrow\quad \forall a\in A,\; a\le u.é
Explicação informal: uma cota superior é um número que está “acima” de todos os elementos de A. Atenção: a cota superior não precisa pertencer a A.

Passo 4

Agora a definição de maior elemento (que é exatamente o que chamamos de máximo). Um elemento m é o maior elemento de A se duas coisas acontecem simultaneamente:
  1. m pertence a A (ou seja, \;m\in A\;), e
  2. m é cota superior de A (ou seja, \forall a\in A,\; a\le m).
    Em palavras: o máximo é um elemento do conjunto que é maior ou igual a todos os outros elementos do conjunto.

Passo 5

Propriedade importante: se existir um máximo ele é único. Prova curta e direta: suponha m e m' são máximos de A. Então \forall a\in A,\; a\le m e \forall a\in A,\; a\le m'. Como m\in A vale m\le m'. Analogamente, como m'\in A vale m'\le m. Pela propriedade antisimétrica de \le em \mathbb{R} concluímos m=m'. Logo não podem existir dois máximos distintos.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se A=\{2,5,3\} então o máximo é \;5\;, porque 5\in A e 2\le5,\;3\le5,\;5\le5.
  • Se A=[0,1] então o máximo é \;1\;.
  • Se A=(0,1) não existe máximo: 1 é cota superior mas 1\notin A, e não há nenhum elemento de A maior ou igual a todos os outros.
  • O conjunto vazio \varnothing não tem máximo (a definição exige existir um elemento m\in A).

Resposta

\max A=m \quad\Longleftrightarrow\quad \left(m\in A\right)\land\left(\forall a\in A,\; a\le m\right).

Exercícios relacionados