Defina formalmente: ( 2.5 pontos)
- Máximo de um conjunto:
Passo 1
O enunciado pede uma definição formal de “máximo de um conjunto”. As informações úteis que temos (e que vou assumir porque o enunciado não especificou) são: estamos trabalhando com um conjunto
contido em
(ou, em geral, em um conjunto parcialmente ordenado), a relação de ordem é
, e o que se quer é uma frase matemática precisa que explique quando dizemos que um elemento é o máximo de
. Não vou resolver nada aqui ainda, apenas deixei claro o que se pede: fornecer a definição formal de máximo.
Passo 2
Vamos lembrar dois conceitos que aparecem sempre nessa definição: elemento do conjunto e relação de ordem. Dizer que
é elemento de
escreve-se
. Dizer que um número
é menor ou igual a outro
escreve-se
. Esses símbolos são a base para a definição formal: precisamos combinar a condição de pertencer ao conjunto com a condição de ser maior ou igual a todos os outros elementos.
Passo 3
Agora introduzo o conceito de cota superior (isso ajuda a entender o máximo). Um número
é uma cota superior de
se, para todo
, vale
. Em símbolos:
Explicação informal: uma cota superior é um número que está “acima” de todos os elementos de
. Atenção: a cota superior não precisa pertencer a
.
Passo 4
Agora a definição de maior elemento (que é exatamente o que chamamos de máximo). Um elemento
é o maior elemento de
se duas coisas acontecem simultaneamente:
-
pertence a (ou seja, ), e -
é cota superior de (ou seja, ).
Em palavras: o máximo é um elemento do conjunto que é maior ou igual a todos os outros elementos do conjunto.
Passo 5
Propriedade importante: se existir um máximo ele é único. Prova curta e direta: suponha
e
são máximos de
. Então
e
. Como
vale
. Analogamente, como
vale
. Pela propriedade antisimétrica de
em
concluímos
. Logo não podem existir dois máximos distintos.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então o máximo é , porque e . - Se
então o máximo é . - Se
não existe máximo: é cota superior mas , e não há nenhum elemento de maior ou igual a todos os outros. - O conjunto vazio
não tem máximo (a definição exige existir um elemento ).