Defina função analítica (real).
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: O exercício pede para definirmos o que é uma função analítica real. Esse conceito faz parte de análise matemática e envolve séries de potências e raio de convergência.
Passo 2
Definição via série de Taylor: Dizemos que uma função
(onde
é um intervalo aberto em
) é analítica se, para todo ponto
, existe uma série de potências centrada em
que converge numa vizinhança de
e coincide com
nessa vizinhança.
Construção dos coeficientes: Os coeficientes da série são dados pelas derivadas de
em
, ou seja,
Construção dos coeficientes: Os coeficientes
Passo 3
Garantia de coincidência: A condição essencial é que a série
tenha raio de convergência
Passo 4
Em resumo, a função não só é infinitamente diferenciável, mas suas derivadas geram uma série que de fato reproduz
localmente.
Resposta
Uma função
é dita analítica se, para cada
, existe uma série de potências centrada em
com raio de convergência
tal que
coincide com a soma dessa série na vizinhança de
: