Defina função analítica (real).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: O exercício pede para definirmos o que é uma função analítica real. Esse conceito faz parte de análise matemática e envolve séries de potências e raio de convergência.

Passo 2

Definição via série de Taylor: Dizemos que uma função f:ItoR (onde I é um intervalo aberto em R) é analítica se, para todo ponto x0in I, existe uma série de potências centrada em x0 que converge numa vizinhança de x0 e coincide com f nessa vizinhança.
Construção dos coeficientes: Os coeficientes an da série são dados pelas derivadas de f em x0, ou seja,
an=f^(n)(x0)n!,

Passo 3

Garantia de coincidência: A condição essencial é que a série
sumn=0^inftyan,(x-x0)^n
tenha raio de convergência R>0 e satisfaça
f(x)=sumn=0^inftyan,(x-x0)^npara todo |x-x0|

Passo 4

Em resumo, a função não só é infinitamente diferenciável, mas suas derivadas geram uma série que de fato reproduz f localmente.

Resposta

Uma função f:ItoR é dita analítica se, para cada x0in I, existe uma série de potências centrada em x0 com raio de convergência R>0 tal que f(x) coincide com a soma dessa série na vizinhança de x0:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n,|x-x0|

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