Obter as séries de MacLaurin e os intervalos de convergência de e^a x, sin (a x), cos (a x), ln (a+x), arctg(x), arcsin (x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as séries de Maclaurin (isto é, séries de Taylor centradas em 0) e seus intervalos de convergência para as funções: (e^{ax},\ \sin(ax),\ \cos(ax),\ \ln(a+x),\ \arctan(x),\ \arcsin(x). O que precisamos usar aqui é a definição
(1+u)^-1
e, nos casos em que for mais rápido, derivar/integar séries conhecidas: a série de , por exemplo.

Passo 2

Para f(x)=e^ax, note que todas as derivadas em 0 são f^(n)(0)=a^n. Logo a série de Maclaurin é
e^ax=sumn=0^inftya^nn!x^n
que converge para todo xin(-infty,infty).

Passo 3

Para f(x)=sin(ax), usamos que as derivadas alternam entre sin(ax) e cos(ax), avaliadas em 0, resultando em
sin(ax)=sumn=0^infty(-1)^n(ax)^2n+1(2n+1)!
e essa série também converge para todo xin(-infty,infty).

Passo 4

Para f(x)=cos(ax), procedimento análogo ao seno leva a
cos(ax)=sumn=0^infty(-1)^n(ax)^2n(2n)!
que converge para todo xin(-infty,infty).

Passo 5

Para f(x)=ln(a+x) com a>0, escrevemos
ln(a+x)=lnl(a(1+tfracxa)r)=ln(a)+lnl(1+tfracxar)
Como
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn, |u|<1,
fazendo u=tfracxa obtemos
ln(a+x)=ln(a)+sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,a^n, |x|

Passo 6

Para f(x)=arctan(x), note que
f'(x)=11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n, |x|<1
Integrando termo a termo de 0 até x
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<=1

Passo 7

Para f(x)=arcsin(x), usamos
f'(x)=1raiz1-x^2=sumn=0^inftybinom2nnx^2n4^n, |x|<1,
e integrando de 0 a x achamos
arcsin(x)=sumn=0^inftybinom2nnx^2n+14^n(2n+1), |x|<1

Resposta

Séries de Maclaurin e intervalos de convergência:
e^ax=sumn=0^inftytfraca^nn!x^n, intervalo: (−infty,infty).
sin(ax)=sumn=0^infty(-1)^ntfrac(ax)^2n+1(2n+1)!, intervalo: (−infty,infty).
cos(ax)=sumn=0^infty(-1)^ntfrac(ax)^2n(2n)!, intervalo: (−infty,infty).
ln(a+x)=ln(a)+sumn=1^infty(-1)^n-1tfracx^nn,a^n, intervalo: |x|.
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^ntfracx^2n+12n+1, intervalo: |x|<=1 (converge também nos extremos com convergência condicional).
arcsin(x)=sumn=0^inftybinom2nntfracx^2n+14^n(2n+1), intervalo: |x|<1.

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