Obter as séries de MacLaurin e os intervalos de convergência de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as séries de Maclaurin (isto é, séries de Taylor centradas em 0) e seus intervalos de convergência para as funções: (e^{ax},\ \sin(ax),\ \cos(ax),\ \ln(a+x),\ \arctan(x),\ \arcsin(x). O que precisamos usar aqui é a definição
e, nos casos em que for mais rápido, derivar/integar séries conhecidas: a série de
, por exemplo.
Passo 2
Para
, note que todas as derivadas em 0 são
. Logo a série de Maclaurin é
que converge para todo
.
Passo 3
Para
, usamos que as derivadas alternam entre
e
, avaliadas em 0, resultando em
e essa série também converge para todo
.
Passo 4
Para
, procedimento análogo ao seno leva a
que converge para todo
.
Passo 5
Para
com
, escrevemos
Como
fazendo
obtemos
Passo 6
Para
, note que
Integrando termo a termo de 0 até
dá
Passo 7
Para
, usamos
e integrando de 0 a
achamos
Resposta
Séries de Maclaurin e intervalos de convergência:
•
, intervalo:
.
•
, intervalo:
.
•
, intervalo:
.
•
, intervalo:
.
•
, intervalo:
(converge também nos extremos com convergência condicional).
•
, intervalo:
.