Defina uma função bijetora e dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma função bijetora e apresentar um exemplo. O conteúdo envolve os conceitos de função, injeção e sobrejeção, e precisaremos usar as definições formais desses conceitos para chegar à definição de bijeção.
Passo 2
Definição de injeção. Uma função
é injetiva se, sempre que dois elementos de
têm a mesma imagem em
, esses dois elementos são iguais. Em notação:
Passo 3
Definição de sobrejeção. A função
é sobrejetiva se toda elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Em notação:
Passo 4
Definição de bijeção. Dizemos que
é bijetora se ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma consequência importante é que bijeções têm inversa, ou seja, existe
satisfazendo
Passo 5
Exemplo de bijeção. Considere a função
– Injetividade: se
então
, logo
.
– Sobrejetividade: dado , basta escolher
para ter
.
Portanto é bijetora, com inversa
.
– Sobrejetividade: dado
Portanto
Resposta
Uma função
é bijetora se, e somente se, for injetiva
e sobrejetiva
Exemplo: a função
definida por
é bijetora, pois é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.