Defina uma função bijetora e dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma função bijetora e apresentar um exemplo. O conteúdo envolve os conceitos de função, injeção e sobrejeção, e precisaremos usar as definições formais desses conceitos para chegar à definição de bijeção.

Passo 2

Definição de injeção. Uma função fcolon A to B é injetiva se, sempre que dois elementos de A têm a mesma imagem em B, esses dois elementos são iguais. Em notação:
forall x,y in A, f(x)=f(y)implies x=y

Passo 3

Definição de sobrejeção. A função fcolon A to B é sobrejetiva se toda elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Em notação:
forall bin B,;exists ain A tal que f(a)=b

Passo 4

Definição de bijeção. Dizemos que fcolon A to B é bijetora se ela é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma consequência importante é que bijeções têm inversa, ou seja, existe f^-1colon Bto A satisfazendo
f^-1(f(a))=a, f(f^-1(b))=b

Passo 5

Exemplo de bijeção. Considere a função
fcolon RtoR, f(x)=x+1
– Injetividade: se f(x)=f(y) então x+1=y+1, logo x=y.
– Sobrejetividade: dado yinR, basta escolher x=y-1 para ter f(x)=y.
Portanto f é bijetora, com inversa f^-1(y)=y-1.

Resposta

Uma função fcolon Ato B é bijetora se, e somente se, for injetiva
forall x,yin A,;f(x)=f(y)implies x=y
e sobrejetiva
forall bin B,;exists ain A tal que f(a)=b
Exemplo: a função fcolonRtoR definida por f(x)=x+1 é bijetora, pois é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.

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