Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
f(x)= x^2 & , se x <= 1, 1 & , se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x^2 & se x <= 1, 1 & se x > 1,
e pede o estudo de continuidade e diferenciabilidade. Vamos usar que polinômios e funções constantes são sempre contínuos e diferenciáveis em seus domínios, e em seguida analisar o ponto de transição x=1 usando limites laterais e derivadas laterais.

Passo 2

Para x<1 temos f(x)=x^2, que é polinômio. Logo:
  • contínua em todo x<1,
  • diferenciável em todo x<1 com derivada f'(x)=2x.

Passo 3

Para x>1 temos f(x)=1, que é constante. Logo:
  • contínua em todo x>1,
  • diferenciável em todo x>1 com derivada f'(x)=0.

Passo 4

No ponto x=1 calculamos os limites laterais e o valor de f(1):
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1,
e
f(1)=1^2=1
Como ambos os limites laterais coincidem entre si e com f(1), a função é contínua em x=1.

Passo 5

Para verificar diferenciabilidade em x=1, calculamos as derivadas laterais:
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)^2-1h =limhto0^-1+2h+h^2-1h =limhto0^-(2+h)=2,
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+1-1h=0
Como f'-(1)=2neq0=f'+(1), não há derivada em x=1.

Passo 6

Conclusões finais:
e não diferenciável em (x=1].

Resposta

A função
Em (x=1] a derivada não existe.

Exercícios relacionados