Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x) = x^2 & se x <= 1, 1 & se x > 1,
e pede o estudo de continuidade e diferenciabilidade. Vamos usar que polinômios e funções constantes são sempre contínuos e diferenciáveis em seus domínios, e em seguida analisar o ponto de transição x=1 usando limites laterais e derivadas laterais.
Passo 2
Para x<1 temos f(x)=x^2, que é polinômio. Logo:
contínua em todo x<1,
diferenciável em todo x<1 com derivada f'(x)=2x.
Passo 3
Para x>1 temos f(x)=1, que é constante. Logo:
contínua em todo x>1,
diferenciável em todo x>1 com derivada f'(x)=0.
Passo 4
No ponto x=1 calculamos os limites laterais e o valor de f(1):
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1,
e
f(1)=1^2=1
Como ambos os limites laterais coincidem entre si e com f(1), a função é contínua em x=1.
Passo 5
Para verificar diferenciabilidade em x=1, calculamos as derivadas laterais: