Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados e solução geral de EDO linear. Vamos achar primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e escrevemos a equação característica
As raízes são
, logo a solução complementar é
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos o método dos coeficientes indeterminados, separando a força externa em
e em
.
- Como
é raiz simples e a parte polinomial tem grau 1, multiplicamos por e tomamos
- Como
é raiz simples e há termo , multiplicamos por e tomamos
Logo
Passo 4
Calculamos derivadas e substituímos em
:
Substituindo:
deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
resulta em
Passo 5
A solução geral é
Passo 6
Impondo as condições iniciais:
Das duas últimas vem
e
. Então
.