Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=t+e^t ; y(0)=1, y^prime(0)= -14, y^prime prime(0)=-32

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 2y' = t + e^t
sujeita às condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=-tfrac14, y''(0)=-tfrac32
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados e solução geral de EDO linear. Vamos achar primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''' - 3y'' + 2y' = 0
e escrevemos a equação característica
r^3 - 3r^2 + 2r = r(r^2 - 3r + 2) = r(r-1)(r-2) = 0
As raízes são r=0,1,2, logo a solução complementar é
yc = C1 e^0cdot t + C2 e^t + C3 e^2t = C1 + C2 e^t + C3 e^2t

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes indeterminados, separando a força externa em t e em e^t.
  • Como r=0 é raiz simples e a parte polinomial tem grau 1, multiplicamos por t e tomamos
yp1 = a t^2 + b t
  • Como r=1 é raiz simples e há termo e^t, multiplicamos por t e tomamos
yp2 = c,t e^t
Logo
yp = a t^2 + b t + c,t e^t

Passo 4

Calculamos derivadas e substituímos em y''' -3y'' +2y':
yp' &= 2a t + b + cl(e^t + t e^tr), yp''&= 2a + cl(2+tr)e^t, yp'''&= cl(3+tr)e^t
Substituindo:
yp''' - 3yp'' + 2yp' = l(4a t + (2b-6a)r) ;+;(-c)e^t
deve ser igual a t + e^t. Igualando coeficientes:
4a=1, 2b-6a=0, -c=1
resulta em
a=tfrac14, b=tfrac34, c=-1

Passo 5

A solução geral é
y(t) = yc + yp = C1 + C2 e^t + C3 e^2t + tfrac14 t^2 + tfrac34 t - t e^t

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
y(0)=C1+C2+C3=1,
y'(0)=C2+2C3-tfrac14=-tfrac14 Rightarrow C2+2C3=0,
y''(0)=C2+4C3-tfrac32=-tfrac32 Rightarrow C2+4C3=0
Das duas últimas vem C3=0 e C2=0. Então C1=1.

Resposta

boxedy(t) = 1 + tfrac14 t^2 + tfrac34 t - t e^t

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