Defina a função f+g para as funções dadas abaixo.
Determine o conjunto D(f+g).
f(x)=cx^2-1 , se x<1 2 x+3 , se x >= 1 e g(x)=cx+3 , se x<-2 4-x^2, se -2 <= x <= 2 3-x , se x>2

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a função soma (f+g)(x)=f(x)+g(x) e determinar seu domínio. O conteúdo aqui é soma de funções e domínio de funções, e vamos usar que o domínio de f+g é a interseção dos domínios de f e g.

Passo 2

Para qualquer operação entre funções precisamos primeiro achar o domínio comum. Note que f(x) está definida para todo x∈ℝ e g(x) também cobre todo x∈ℝ. Logo: D(f)=ℝ, D(g)=ℝ e portanto D(f+g)=D(f)∩D(g)=ℝ.

Passo 3

Como f e g mudam de expressão em x=1, em x=−2 e em x=2, vamos particionar a reta real nos intervalos onde ambas têm fórmula fixa:

Passo 4

Para x<−2 temos f(x)=x^2−1 e g(x)=x+3. Então
(f+g)(x)=(x^2−1)+(x+3)=x^2+x+2,

Passo 5

Para −2≤x<1 temos f(x)=x^2−1 e g(x)=4−x^2. Então
(f+g)(x)=(x^2−1)+(4−x^2)=3,

Passo 6

Para 1≤x≤2 temos f(x)=2x+3 e g(x)=4−x^2. Então
(f+g)(x)=(2x+3)+(4−x^2)=−x^2+2x+7,

Passo 7

Para x>2 temos f(x)=2x+3 e g(x)=3−x. Então
(f+g)(x)=(2x+3)+(3−x)=x+6

Resposta

A função (f+g)(x) fica definida por
(f+g)(x)= x^2+x+2, & x<−2, 3, & −2≤x<1, −x^2+2x+7, & 1≤x≤2, x+6, & x>2,
e o domínio D(f+g)=ℝ.

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