Encontre dy/dx por diferenciação implícita.
x^2 y^2-5 x^3 y+x=1

Passo 1

Temos a equação implícita x^2y^2-5x^3y+x=1. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, em que vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de potências para encontrar dy/dx.

Passo 2

Vamos diferenciar termo a termo em relação a x:
Para x^2y^2, use a regra do produto com u=x^2 e v=y^2. Temos
u'=2x e, pela regra da cadeia, v'=2ycdot y'.
Logo, d(x^2y^2)/dx=2x,y^2+2x^2,y,y'.
Para -5x^3y, use a segunda aplicação da regra do produto com u=-5x^3 e v=y. Assim,
u'=-15x^2 e v'=y',
logo d(-5x^3y)/dx=-15x^2y-5x^3y'.

Passo 3

A derivada de x é 1 e de 1 é 0. Somando tudo e igualando a zero, fica:
2x y^2 + 2x^2 y y' - 15x^2 y - 5x^3 y' + 1 = 0

Passo 4

Agora agrupamos os termos que têm y' e os que não têm:
y'(2x^2y - 5x^3) + (2x y^2 - 15x^2y + 1) = 0
Em seguida isolamos y' dividindo pelo coeficiente de y'.

Resposta

15x^2 y - 2x y^2 - 12x^2 y - 5x^3

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