Defina a função linear f: R^2 R^3 que possui o vetor (1,0) em seu núcleo e satisfaz f(1,-1)=(1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear fcolon R^2toR^3 tal que (1,0)inker f e
f(1,-1) = (1,2,0)
Para resolver, usaremos as propriedades de núcleo de aplicações lineares e a decomposição de um vetor em função de uma base de R^2.

Passo 2

Como (1,0)inker f, temos
f(1,0) = (0,0,0)
Em particular, para um vetor arbitrário (x,y)inR^2 escrevemos
(x,y) = x,(1,0) + y,(0,1),
logo pela linearidade
f(x,y) = x,f(1,0) + y,f(0,1) = 0 + y,f(0,1)
Defina w = f(0,1). Então
f(x,y) = y,w

Passo 3

Usando a condição f(1,-1) = (1,2,0), temos
f(1,-1) = (-1),w = (1,2,0)
Logo
-w = (1,2,0) Longrightarrow w = -(1,2,0) = (-1,-2,0)

Passo 4

Substituindo w em f(x,y)=y,w, obtemos
f(x,y) = y,(-1,-2,0) = (-y,,-2y,,0)
Em matriz, na base canônica,
[f] = 0 & -1 0 & -2 0 & 0 ,
pois f(e1)=0 e f(e2)=(-1,-2,0).

Resposta

f(x,y) = (-y,,-2y,,0)

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