Exercício 20. (D.K. ex. 10.6) (Teorema de Mudança de Variável) Seja Psi: Y X um difeomorfismo de classe C^infty entre os abertos X e Y de R^n. Mostre que chiPsi(Y)=Psi*(jPsi chiY) em D^prime(X), em que jPsi:=|det(D Psi)(x)| e chiA é a função característica do conjunto A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um difeomorfismo de classe C^infty
Psi: Y to X,
entre abertos de R^n, vale em D'(X) a identidade
chiPsi(Y) ;=;Psi*(,jPsi,chiY),
onde jPsi(y)=l|det DPsi(y)r| e chiA é a função característica de A.
Conteúdo necessário: definição de distribuição regular associada a função localmente integrável e definição de push-forward de uma distribuição por difeomorfismo, além da fórmula de mudança de variáveis em integrais.

Passo 2

Lembrando que toda função fin L^1loc(Y) define uma distribuição regular TfinD'(Y) por
llang<= Tf,varphirrang<= =integralY f(y),varphi(y),dy,
para varphiin Cc^infty(Y). E que, se TinD'(Y), seu push-forward Psi*TinD'(X) é dado por
llang<=Psi*T,phirrang<= =llang<= T,phicircPsirrang<=,
para todo phiin Cc^infty(X).

Passo 3

Aplicamos isso à distribuição T=jPsi,chiY. Como jPsi,chiYin L^1loc(Y), temos
llang<=Psi*(jPsi,chiY),phirrang<= =integralY jPsi(y),chiY(y),l(phicircPsir)(y),dy =integralY l|det DPsi(y)r|;phil(Psi(y)r),dy

Passo 4

Agora usamos a mudança de variável na integral. Seja x=Psi(y). Como Psi é difeomorfismo, y=Psi^-1(x) e
dy =l|det DPsi^-1(x)r|,dx Longrightarrow l|det DPsi(y)r|,dy =dx
O conjunto Y é levado bijetivamente em Psi(Y)subset X, então
integralY l|det DPsi(y)r|;phil(Psi(y)r),dy =integralPsi(Y)phi(x),dx

Passo 5

Mas integralPsi(Y)phi(x),dx é exatamente
integralX chiPsi(Y)(x),phi(x),dx =llang<= chiPsi(Y),phirrang<=
Portanto mostramos que, para todo phiin Cc^infty(X),
llang<=Psi*(jPsi,chiY),phirrang<= =llang<=chiPsi(Y),phirrang<=,
o que implica igualdade de distribuições.

Resposta

chiPsi(Y) ;=;Psi*(,jPsi,chiY) em D'(X)

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