Existe uma transformação linear
que satisfaça
e
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
que satisfaça
O que vamos usar é que em
quaisquer dois polinômios independentes formam base, e que uma transformação linear fica totalmente determinada pelos seus valores numa base.
Passo 2
Note que os polinômios
e
são independentes em
(se
então
força
). Como
, eles formam uma base. Logo, especificar
em
e
determina
de forma única em todo
.
Passo 3
Pela linearidade de
temos
Passo 4
Somando as duas igualdades:
Subtraindo a segunda da primeira:
Passo 5
Qualquer polinômio em
escreve-se como
. Pela linearidade,
Agrupando termos,
Resposta
Sim. A transformação existe e é dada por, para todo
,