Existe uma transformação linear T: P1(x) P2(x) que satisfaça T(x+1)=x^2-1 e T(x-1)=x^2+x ?

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: P1(x)to P2(x)
que satisfaça
T(x+1)=x^2-1 e T(x-1)=x^2+x
O que vamos usar é que em P1 quaisquer dois polinômios independentes formam base, e que uma transformação linear fica totalmente determinada pelos seus valores numa base.

Passo 2

Note que os polinômios x+1 e x-1 são independentes em P1 (se a(x+1)+b(x-1)=0 então (a+b)x+(a-b)=0 força a=b=0). Como dim P1=2, eles formam uma base. Logo, especificar T em x+1 e x-1 determina T de forma única em todo P1.

Passo 3

Pela linearidade de T temos
T(x+1)=T(x)+T(1)=x^2-1,
T(x-1)=T(x)-T(1)=x^2+x

Passo 4

Somando as duas igualdades:
2,T(x)=l(x^2-1r)+l(x^2+xr)=2x^2+x-1 ;Longrightarrow; T(x)=x^2+tfracx2-tfrac12
Subtraindo a segunda da primeira:
2,T(1)=l(x^2-1r)-l(x^2+xr)=-x-1 ;Longrightarrow; T(1)=-tfracx2-tfrac12

Passo 5

Qualquer polinômio em P1 escreve-se como a+bx. Pela linearidade,
T(a+bx)=a,T(1)+b,T(x) =al(-tfracx2-tfrac12r) +bl(x^2+tfracx2-tfrac12r)
Agrupando termos,
T(a+bx)=b,x^2+l(tfrac b2-tfrac a2r)x +l(-tfrac b2-tfrac a2r)

Resposta

Sim. A transformação existe e é dada por, para todo a,bin R,
T(a+bx) = b,x^2 +l(tfrac b2-tfrac a2r)x +l(-tfrac b2-tfrac a2r)

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