Mostre que a relação
em
, é uma relação Reflexiva, antissimétrica e transitiva (estas relações são conhecidas como relações de ordem).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação “
” definida no conjunto
é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Conteúdo: teoria de relações em conjuntos, especificamente as definições de reflexividade, antissimetria e transitividade de relações binárias.
Conteúdo: teoria de relações em conjuntos, especificamente as definições de reflexividade, antissimetria e transitividade de relações binárias.
Passo 2
Reflexividade
Definição: uma relação em
é reflexiva se, para todo
, tivermos
.
No nosso caso, queremos provar que, para todo , vale
Definição: uma relação
No nosso caso, queremos provar que, para todo
Mas isso é imediato pela definição de
: em real, sempre ocorre
, e a relação “
” admite igualdade. Logo
isto é, “
” é reflexiva.
Passo 3
Antissimetria
Definição: uma relação em
é antissimétrica se, sempre que
e
, então
.
No nosso caso, suponha e
. Pelas propriedades da ordem usual em
, só podem ocorrer duas situações em cada desigualdade:
Definição: uma relação
No nosso caso, suponha
-
. -
(ou ).
Mas não há como ter simultaneamentee , nem e , pois isso violaria o axioma de tricotomia do conjunto . Portanto a única possibilidade compatível com e é
Isso estabelece a antissimetria de “
”.
Passo 4
Transitividade
Definição: uma relação em
é transitiva se, sempre que
e
, então
.
No nosso caso, suponha e
. Cada uma dessas desigualdades pode ocorrer por igualdade ou desigualdade estrita. Vejamos os casos:
Definição: uma relação
No nosso caso, suponha
- Se
, então de já vem . - Se
, então de já vem . - Se
e , então pela transitividade da desigualdade estrita em obtemos , logo .
Em todos os casos concluímos
Assim, “
” é transitiva.
Resposta
A relação “
” em
satisfaz as três propriedades:
- É reflexiva, pois
. - É antissimétrica, pois
e implicam . - É transitiva, pois
e implicam .
Logo, “” é uma relação de ordem em .