Mostre que a relação <= em R, é uma relação Reflexiva, antissimétrica e transitiva (estas relações são conhecidas como relações de ordem).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação “ <=” definida no conjunto R é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Conteúdo: teoria de relações em conjuntos, especificamente as definições de reflexividade, antissimetria e transitividade de relações binárias.

Passo 2

Reflexividade
Definição: uma relação R em X é reflexiva se, para todo xin X, tivermos (x,x)in R.
No nosso caso, queremos provar que, para todo ainR, vale
a <= a
Mas isso é imediato pela definição de <=: em real, sempre ocorre a=a, e a relação “ <=” admite igualdade. Logo
forall ainR, a<= a,
isto é, “ <=” é reflexiva.

Passo 3

Antissimetria
Definição: uma relação R em X é antissimétrica se, sempre que xRy e yRx, então x=y.
No nosso caso, suponha a<= b e b<= a. Pelas propriedades da ordem usual em R, só podem ocorrer duas situações em cada desigualdade:
  1. a=b.
  2. a<b (ou b<a).
    Mas não há como ter simultaneamente a<b e b<= a, nem b<a e a<= b, pois isso violaria o axioma de tricotomia do conjunto R. Portanto a única possibilidade compatível com a<= b e b<= a é
a = b
Isso estabelece a antissimetria de “ <=”.

Passo 4

Transitividade
Definição: uma relação R em X é transitiva se, sempre que xRy e yRz, então xRz.
No nosso caso, suponha a<= b e b<= c. Cada uma dessas desigualdades pode ocorrer por igualdade ou desigualdade estrita. Vejamos os casos:
  • Se a=b, então de b<= c já vem a<= c.
  • Se b=c, então de a<= b já vem a<= c.
  • Se a<b e b<c, então pela transitividade da desigualdade estrita em R obtemos a<c, logo a<= c.
    Em todos os casos concluímos
a <= c
Assim, “ <=” é transitiva.

Resposta

A relação “ <=” em R satisfaz as três propriedades:
  1. É reflexiva, pois forall ainR,,a<= a.
  2. É antissimétrica, pois a<= b e b<= a implicam a=b.
  3. É transitiva, pois a<= b e b<= c implicam a<= c.
    Logo, “ <=” é uma relação de ordem em R.

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