Defina uma função
tal que, para cada
, o conjunto
seja infinito.
Passo 1
O enunciado pede uma função
tal que, para cada
, o conjunto
seja infinito. Vamos usar a ideia de valoração
-adic, que dá um número infinito de pré-imagens para cada valor.
Passo 2
Definimos para todo
:
onde
é o maior expoente
tal que
divide
. Note que
sempre tem uma decomposição
com
ímpar.
Passo 3
Fixe
. Então
onde
N0=0,1,2,dots . Como
r varia livremente, esse conjunto é infinito para todo
k .
Resposta
Uma definição explícita é
que satisfaz que, para cada
k ,
f^-1(k) é infinito.