Defina uma função f: N N tal que, para cada n in N, o conjunto f^-1(n) seja infinito.

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolonNtoN tal que, para cada kinN, o conjunto
f^-1(k)=ninNmid f(n)=k
seja infinito. Vamos usar a ideia de valoração 2-adic, que dá um número infinito de pré-imagens para cada valor.

Passo 2

Definimos para todo ninN:
f(n)=nu2(n+1)+1,
onde nu2(m) é o maior expoente e tal que 2^e divide m. Note que n+1>=1 sempre tem uma decomposição n+1=2^nu2(n+1)cdot m com m ímpar.

Passo 3

Fixe kinN. Então
f^-1(k) =ninNmid nu2(n+1)=k-1 =l2^,k-1(2r+1)-1;|;rinN0r,
onde N0=0,1,2,dots. Como r varia livremente, esse conjunto é infinito para todo k.

Resposta

Uma definição explícita é
boxed,f(n)=nu2(n+1)+1, ninN,
que satisfaz que, para cada k, f^-1(k) é infinito.

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