Nos exercícios abaixo, encontre T(t) e N(t).
sigma(t)=t^2 i+e^t j.

Passo 1

O enunciado pede os vetores unitário tangente ,T(t), e unitário normal principal ,N(t), para a curva plana
sigma(t)=t^2,i+e^t,j
O conteúdo envolve cálculo de derivadas, norma de vetores e definição
T(t)=sigma'(t)|sigma'(t)|, N(t)=T'(t)|T'(t)|

Passo 2

Calcular a velocidade e sua norma.
sigma'(t)=ddt(t^2),i+ddt(e^t),j =2t,i+e^t,j
A norma de sigma'(t) é
|sigma'(t)|=raiz(2t)^2+(e^t)^2 =raiz4t^2+e^2t

Passo 3

Formar o vetor unitário tangente.
T(t) =sigma'(t)|sigma'(t)| =2t,i+e^t,jraiz4t^2+e^2t

Passo 4

Derivar T(t) para obter T'(t). Seja A(t)=4t^2+e^2t. Então
T(t)=1raizA(t)l(2t,i+e^t,jr)
Aplicando a regra do quociente e simplificando obtemos
T'(t) =2e^t(t-1)A(t)raizA(t)l(-e^t,i+2t,jr)

Passo 5

Normalizar T'(t) para obter o unitário normal principal. Primeiro a norma de T'(t) é
|T'(t)| =|2e^t(t-1)|A(t) raiz,(-e^t)^2+(2t)^2, =|2e^t(t-1)|A(t)raizA(t) =2e^t|t-1|A(t)
Logo
N(t) =T'(t)|T'(t)| = 2e^t(t-1)AraizA(-e^t,i+2t,j) 2e^t|t-1|A =t-1|t-1|,-e^t,i+2t,jraiz4t^2+e^2t
Em particular, para t>1 o fator t-1|t-1|=1, e para t<1 ele vale -1.

Resposta

T(t)=2t,i+e^t,jraiz4t^2+e^2t,
N(t)=t-1|t-1|,-e^t,i+2t,jraiz4t^2+e^2t

Exercícios relacionados