Use indução para provar que n^3+5 n é divisível por 6 , qualquer que seja n in N.

Passo 1

Temos que provar, por indução em n, que
n^3 + 5n
é divisível por 6 para todo n in N.
O método de indução consiste em verificar um caso base e depois mostrar que, se a propriedade vale para um certo k, ela vale também para k+1.

Passo 2

Caso base: n=1.
Para n=1 calculamos
1^3 + 5cdot1 = 1 + 5 = 6,
e 6 é claramente divisível por 6. Portanto, a propriedade vale em n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum kinN valha
k^3 + 5k = 6m
para algum minZ.

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que
(k+1)^3 + 5(k+1)
é divisível por 6. Calculamos
(k+1)^3 + 5(k+1) = l(k^3 + 3k^2 + 3k + 1r) + (5k + 5) = l(k^3 + 5kr) + 3k^2 + 3k + 6

Passo 5

Pela hipótese de indução temos k^3+5k=6m. Assim
(k+1)^3 + 5(k+1) = 6m + 3k^2 + 3k + 6 = 6m + 3k(k+1) + 6
Como k(k+1) é sempre par, existe pinZ tal que k(k+1)=2p. Logo
3k(k+1)=3cdot2p=6p,
e então
6m + 3k(k+1) + 6 = 6m + 6p + 6 = 6(m+p+1),
que é múltiplo de 6. Portanto a propriedade vale para k+1.

Resposta

Concluímos por indução que n^3+5n é divisível por 6 para todo ninN.

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