Defina uma função tal que as suas curvas de nível sejam retas paralelas, e verifique se o gradiente é ortogonal a essas retas paralelas.

Passo 1

Resumindo: a questão pede para encontrar uma função cujas curvas de nível sejam retas paralelas e mostrar que o gradiente é perpendicular a essas retas. O conteúdo principal aqui é curvas de nível e gradiente vetorial, então vamos usar derivadas parciais e definição de curva de nível.

Passo 2

Uma função simples que gera curvas de nível paralelas é f(x,y)=a x + b y, com a e b constantes (não ambos zero). Suas curvas de nível são definidas por f(x,y)=c, isto é
a x + b y = c
que representam retas paralelas (mesma inclinação) para diferentes valores de c.

Passo 3

Para calcular o gradiente, usamos a definição nabla f = l(partial f/partial x,,partial f/partial yr). Aqui obtemos
partial fpartial x = a, partial fpartial y = b
logo nabla f = (a,b).

Passo 4

Agora, um vetor diretor de qualquer reta a x + b y = c pode ser escolhido como v=(b,-a), pois deslocamentos segundo v mantêm a x + b y constante. Para verificar ortogonalidade, basta ver que
nabla f cdot v = (a,b)cdot(b,-a) = a,b - b,a = 0
Assim, o gradiente é perpendicular às retas de nível.

Resposta

Por exemplo, f(x,y)=ax+by tem curvas de nível ax+by=c (retas paralelas) e ∇f=(a,b) satisfaz ∇f·(b,−a)=0, logo o gradiente é ortogonal a essas retas.

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