Defina uma função tal que as suas curvas de nível sejam retas paralelas, e verifique se o gradiente é ortogonal a essas retas paralelas.
Passo 1
Resumindo: a questão pede para encontrar uma função cujas curvas de nível sejam retas paralelas e mostrar que o gradiente é perpendicular a essas retas. O conteúdo principal aqui é curvas de nível e gradiente vetorial, então vamos usar derivadas parciais e definição de curva de nível.
Passo 2
Uma função simples que gera curvas de nível paralelas é
, com
e
constantes (não ambos zero). Suas curvas de nível são definidas por
, isto é
que representam retas paralelas (mesma inclinação) para diferentes valores de
.
Passo 3
Para calcular o gradiente, usamos a definição
. Aqui obtemos
logo
.
Passo 4
Agora, um vetor diretor de qualquer reta
pode ser escolhido como
, pois deslocamentos segundo
mantêm
constante. Para verificar ortogonalidade, basta ver que
Assim, o gradiente é perpendicular às retas de nível.
Resposta
Por exemplo, f(x,y)=ax+by tem curvas de nível ax+by=c (retas paralelas) e ∇f=(a,b) satisfaz ∇f·(b,−a)=0, logo o gradiente é ortogonal a essas retas.